(ENEM) Uma indústria de perfumes embala seus produtos, atualmente, em frascos esféricos de raio R , com volume dado por \frac{4}{3} \pi(R)^{3}. Observou-se que haverá redução de custos se forem utilizados frascos cilíndricos com raio da base \frac{R}{3} cujo volume será dado por \pi\left(\frac{R}{3}\right)^{2} \cdot h sendo h a altura da nova embalagem. Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco esférico, a altura do frasco cilíndrico (em termos de R ) deverá ser igual a:
a) 2 R
b) 4 R
c) 6 R
d) 9 R
e) 12 R

Passo 1

O enunciado compara o volume de um frasco esférico de raio R com o de um frasco cilindro de raio da base \tfrac{R}{3} e altura h. O objetivo é achar h de modo que o cilindro tenha o mesmo volume da esfera. Vamos usar fórmulas de volume de sólidos.

Passo 2

O volume da esfera de raio R é
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi R^3.

Passo 3

O volume do cilindro de raio da base \tfrac{R}{3} e altura h é
V_{\text{cilindro}} = \pi \Bigl(\frac{R}{3}\Bigr)^2\,h = \frac{\pi R^2}{9}\,h.

Passo 4

Para manter a mesma capacidade, igualamos os volumes:
\frac{\pi R^2}{9}\,h = \frac{4}{3}\pi R^3.
Cancelando \pi e dividindo ambos os lados por R^2,
\frac{1}{9}\,h = \frac{4}{3}\,R \quad\Rightarrow\quad h = 9\cdot\frac{4}{3}\,R = 12R.

Resposta

(e) 12R

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