Encontre uma função primitiva
da função
dada que satisfaça a condição inicial.
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma função primitiva
da função
que satisfaz uma condição inicial específica. A função
que temos é:
Isso está entrando no conteúdo de Cálculo Integral, especificamente na busca por primitivas (ou antiderivadas). Vamos precisar usar as regras básicas de integração e aplicar a condição inicial para encontrar a constante de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primitiva
de
. Ou seja, precisamos integrar cada termo de
:
Passo 3
Vamos integrar termo por termo:
- Integrando
:
Lembrando que a integral de
é
.
- Integrando
:
A integral de
é
.
- Integrando
:
Aqui usamos a regra da potência:
.
Passo 4
Agora, juntando tudo e adicionando a constante de integração
:
Passo 5
Vamos usar a condição inicial para encontrar
. Sabemos que:
Substituindo
na expressão de
:
Passo 6
Calculando os valores trigonométricos e simplificando:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
A função primitiva que satisfaz a condição inicial é: