Encontre uma função primitiva F(x) da função f(x) dada que satisfaça a condição inicial.
f(x)=2 sen x+cos x-12 x^2, onde F(pi4)=-raiz22

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma função primitiva F(x) da função f(x) que satisfaz uma condição inicial específica. A função f(x) que temos é:
f(x) = 2 sin x + cos x - 12 x^2
Isso está entrando no conteúdo de Cálculo Integral, especificamente na busca por primitivas (ou antiderivadas). Vamos precisar usar as regras básicas de integração e aplicar a condição inicial para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primitiva F(x) de f(x) . Ou seja, precisamos integrar cada termo de f(x) :
F(x) = integral f(x) , dx = integral (2 sin x + cos x - 12 x^2) dx

Passo 3

Vamos integrar termo por termo:
  1. Integrando 2 sin x :
integral 2 sin x , dx = -2 cos x
Lembrando que a integral de sin x é -cos x .
  1. Integrando cos x :
integral cos x , dx = sin x
A integral de cos x é sin x .
  1. Integrando -12 x^2 :
integral -12 x^2 , dx = -12 cdot x^33 = -16 x^3
Aqui usamos a regra da potência: integral x^n dx = x^n+1n+1 .

Passo 4

Agora, juntando tudo e adicionando a constante de integração C :
F(x) = -2 cos x + sin x - 16 x^3 + C

Passo 5

Vamos usar a condição inicial para encontrar C . Sabemos que:
F(pi4) = -raiz22
Substituindo x = pi4 na expressão de F(x) :
-2 cos(pi4) + sin(pi4) - 16 (pi4)^3 + C = -raiz22

Passo 6

Calculando os valores trigonométricos e simplificando:
  • cos(pi4) = raiz22
  • sin(pi4) = raiz22
  • (pi4)^3 = pi^364
Substituindo:
-2 cdot raiz22 + raiz22 - 16 cdot pi^364 + C = -raiz22
Simplificando:
-raiz2 + raiz22 - pi^3384 + C = -raiz22

Passo 7

Resolvendo para C :
C = -raiz22 + raiz2 + pi^3384
C = raiz22 + pi^3384

Resposta

A função primitiva que satisfaz a condição inicial é:
F(x) = -2 cos x + sin x - 16 x^3 + raiz22 + pi^3384

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