Encontre a função primitiva F(x) mais geral da função f(x). Verifique sua resposta diferenciando o resultado, isto é, F^prime(x)=f(x).
f(x)=3 e^3 x+7 sec ^2 x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a função primitiva F(x) mais geral da função f(x) = 3 e^3x + 7 sec^2 x. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre antiderivadas. Para resolver isso, vamos integrar cada termo de f(x) separadamente e depois juntar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar o termo 3 e^3x. Sabemos que a integral de e^kx, onde k é uma constante, é 1k e^kx + C, onde C é a constante de integração.

Passo 3

Aplicando essa regra ao nosso termo, temos:
integral 3 e^3x , dx = 3 cdot 13 e^3x + C1 = e^3x + C1

Passo 4

Agora, vamos integrar o segundo termo, 7 sec^2 x. Sabemos que a integral de sec^2 x é tan x + C.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso termo, temos:
integral 7 sec^2 x , dx = 7 tan x + C2

Resposta

Juntando as duas integrais, a função primitiva mais geral é:
F(x) = e^3x + 7 tan x + C
Para verificar, vamos derivar F(x):
F'(x) = 3 e^3x + 7 sec^2 x = f(x)
Isso confirma que F'(x) = f(x), portanto, encontramos a função primitiva correta.

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