Encontre uma função primitiva F(x) da função f(x) dada que satisfaça a condição inicial.
f(x)=x^2 / 3+x, onde F(1)=12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma função primitiva F(x) da função f(x) = x^2/3 + x que satisfaça a condição inicial F(1) = 12 . Isso envolve o estudo de antiderivadas, que é basicamente encontrar uma função cuja derivada seja a função dada. Para isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primitiva geral de f(x) = x^2/3 + x . Isso significa que vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica de integração que vamos usar é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Vamos integrar o primeiro termo, x^2/3 :
integral x^2/3 , dx = x^(2/3)+1(2/3)+1 + C = x^5/35/3 + C = 35x^5/3 + C

Passo 4

Agora, vamos integrar o segundo termo, x :
integral x , dx = x^1+11+1 + C = x^22 + C

Passo 5

Juntando as duas integrais, a primitiva geral de f(x) fica:
F(x) = 35x^5/3 + 12x^2 + C

Passo 6

Agora, precisamos determinar o valor da constante C usando a condição inicial F(1) = 12 . Vamos substituir x = 1 na equação de F(x) :
35(1)^5/3 + 12(1)^2 + C = 12
Simplificando:
35 + 12 + C = 12

Passo 7

Vamos resolver para C :
C = 12 - 35 - 12 = -35

Resposta

Então, a função primitiva que satisfaz a condição inicial é:
F(x) = 35x^5/3 + 12x^2 - 35

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