Encontre uma função primitiva F(x) da função f(x) dada que satisfaça a condição inicial.
f(x)=sec x tan x+cos x, onde F(pi3)=2

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar uma função primitiva F(x) da função f(x) = sec x tan x + cos x que satisfaça a condição inicial F(pi3) = 2 . Para isso, vamos utilizar conceitos de antiderivação (integração) e aplicar uma condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função primitiva F(x) de f(x) é uma função cuja derivada é f(x) . Para encontrar F(x) , precisamos integrar f(x) .

Passo 3

Vamos separar a função f(x) em duas partes para facilitar a integração:
f(x) = sec x tan x + cos x
Assim, a integral de f(x) será a soma das integrais de cada termo:
integral f(x) , dx = integral sec x tan x , dx + integral cos x , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Integral de sec x tan x :
Sabemos que:
integral sec x tan x , dx = sec x + C
onde C é a constante de integração.
  1. Integral de cos x :
A integral de cos x é:
integral cos x , dx = sin x + C

Passo 5

Juntando as duas integrais, temos a função primitiva geral:
F(x) = sec x + sin x + C
Agora, precisamos encontrar o valor da constante C usando a condição inicial fornecida.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial F(pi3) = 2 para determinar C :
F(pi3) = sec(pi3) + sin(pi3) + C = 2
Calculando cada termo:
  • sec(pi3) = 1cos(pi3) = 112 = 2
  • sin(pi3) = raiz32
Substituindo na equação:
2 + raiz32 + C = 2
Resolvendo para C :
C = 2 - 2 - raiz32 = -raiz32

Resposta

A função primitiva que satisfaz a condição inicial é:
F(x) = sec x + sin x - raiz32

Exercícios relacionados