Encontre a função primitiva F(x) mais geral da função f(x). Verifique sua resposta diferenciando o resultado, isto é, F^prime(x)=f(x).
f(x)=25 sec x tan x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a função primitiva F(x) mais geral da função f(x) = 25 sec x tan x . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente da integração. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas como a secante ( sec x ) e a tangente ( tan x ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função primitiva. Basicamente, encontrar F(x) significa descobrir uma função cuja derivada seja igual a f(x) . Ou seja, queremos que F'(x) = f(x) . Isso é o mesmo que dizer que F(x) é a antiderivada de f(x) .

Passo 3

Agora, vamos focar em como integrar 25 sec x tan x . A integral de sec x tan x é uma das integrais trigonométricas padrão que a gente costuma aprender. Sabemos que:
integral sec x tan x , dx = sec x + C
Aqui, C é a constante de integração, que sempre colocamos quando encontramos uma antiderivada geral.

Passo 4

Aplicando isso à nossa função f(x) , temos:
F(x) = 25 integral sec x tan x , dx
Substituindo a integral que sabemos:
F(x) = 25 cdot sec x + C
Então, a função primitiva mais geral de f(x) é 25 sec x + C .

Passo 5

Agora, para verificar se fizemos tudo certo, vamos diferenciar F(x) e ver se realmente obtemos f(x) :
F'(x) = ddx ( 25 sec x + C ) = 25 cdot sec x tan x + 0 = 25 sec x tan x
Confere! F'(x) = f(x) , então nossa primitiva está correta.

Resposta

A função primitiva mais geral de f(x) = 25 sec x tan x é:
F(x) = 25 sec x + C
onde C é a constante de integração.

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