Encontre a função primitiva
mais geral da função
. Verifique sua resposta diferenciando o resultado, isto é,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a função primitiva
mais geral da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente da integração. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas como a secante (
) e a tangente (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função primitiva. Basicamente, encontrar
significa descobrir uma função cuja derivada seja igual a
. Ou seja, queremos que
. Isso é o mesmo que dizer que
é a antiderivada de
.
Passo 3
Agora, vamos focar em como integrar
. A integral de
é uma das integrais trigonométricas padrão que a gente costuma aprender. Sabemos que:
Aqui,
é a constante de integração, que sempre colocamos quando encontramos uma antiderivada geral.
Passo 4
Aplicando isso à nossa função
, temos:
Substituindo a integral que sabemos:
Então, a função primitiva mais geral de
é
.
Passo 5
Agora, para verificar se fizemos tudo certo, vamos diferenciar
e ver se realmente obtemos
:
Confere!
, então nossa primitiva está correta.
Resposta
A função primitiva mais geral de
é:
onde
é a constante de integração.