Encontre uma função primitiva F(x) da função f(x) dada que satisfaça a condição inicial.
f(x)=x raiz[3]x+e^x, onde F(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função primitiva F(x) da função f(x) = x raiz[3]x + e^x que satisfaça a condição inicial F(0) = 2 . Para isso, vamos usar técnicas de antiderivação, que é basicamente encontrar a função cuja derivada é f(x) .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão x raiz[3]x . Sabemos que raiz[3]x é o mesmo que x^1/3 . Então:
x raiz[3]x = x cdot x^1/3 = x^1 + 1/3 = x^4/3
Agora, nossa função f(x) fica:
f(x) = x^4/3 + e^x

Passo 3

Vamos encontrar a antiderivada de cada termo separadamente. A antiderivada de x^n é x^n+1n+1 , desde que n neq -1 . Para e^x , a antiderivada é simplesmente e^x .
Então, integrando cada termo:
integral x^4/3 , dx = x^4/3 + 14/3 + 1 = x^7/37/3 = 37 x^7/3
integral e^x , dx = e^x

Passo 4

Juntando as antiderivadas, temos a função primitiva geral F(x) :
F(x) = 37 x^7/3 + e^x + C
Onde C é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial F(0) = 2 .

Passo 5

Vamos aplicar a condição inicial F(0) = 2 :
F(0) = 37 (0)^7/3 + e^0 + C = 0 + 1 + C = 1 + C
Igualando a 2:
1 + C = 2 implies C = 1

Resposta

A função primitiva que satisfaz a condição inicial é:
F(x) = 37 x^7/3 + e^x + 1

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