Encontre uma função primitiva
da função
dada que satisfaça a condição inicial.
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função primitiva
da função
que satisfaça a condição inicial
. Para isso, vamos usar técnicas de antiderivação, que é basicamente encontrar a função cuja derivada é
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
é o mesmo que
. Então:
Agora, nossa função
fica:
Passo 3
Vamos encontrar a antiderivada de cada termo separadamente. A antiderivada de
é
, desde que
. Para
, a antiderivada é simplesmente
.
Então, integrando cada termo:
Passo 4
Juntando as antiderivadas, temos a função primitiva geral
:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial
.
Passo 5
Vamos aplicar a condição inicial
:
Igualando a 2:
Resposta
A função primitiva que satisfaz a condição inicial é: