Encontre a função primitiva F(x) mais geral da função f(x). Verifique sua resposta diferenciando o resultado, isto é, F^prime(x)=f(x).
f(x)=x^2-2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função primitiva F(x) da função f(x) = x^2 - 2x + 1 . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, onde aprendemos a encontrar antiderivadas ou integrais indefinidas. Para isso, vamos precisar integrar cada termo da função f(x) separadamente e depois somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar o termo x^2 . A regra básica da integral de uma potência de x é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde n é um número real diferente de -1 e C é a constante de integração. Aqui, n = 2 , então:
integral x^2 , dx = x^33 + C

Passo 3

Agora, vamos integrar o termo -2x . Usamos a mesma regra da potência, mas lembrando que a constante -2 pode ser fatorada para fora da integral:
integral -2x , dx = -2 integral x , dx = -2 ( x^22 ) + C = -x^2 + C

Passo 4

Por último, vamos integrar o termo constante 1 . A integral de uma constante a em relação a x é:
integral a , dx = a x + C
Então:
integral 1 , dx = x + C

Passo 5

Agora, juntamos todas as partes que integramos:
F(x) = x^33 - x^2 + x + C
Aqui, C é a constante de integração que representa todas as possíveis primitivas da função f(x) .

Passo 6

Vamos verificar se a nossa resposta está correta diferenciando F(x) e vendo se recuperamos f(x) :
F'(x) = ddx ( x^33 - x^2 + x + C ) = x^2 - 2x + 1
Isso é exatamente a função f(x) que a gente começou. Então, nossa primitiva está correta!

Resposta

A função primitiva geral de f(x) = x^2 - 2x + 1 é:
F(x) = x^33 - x^2 + x + C

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