Encontre a função primitiva F(x) mais geral da função f(x). Verifique sua resposta diferenciando o resultado, isto é, F^prime(x)=f(x).
f(x)=x^-3+x^11+13

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função primitiva F(x) da função dada f(x) = x^-3 + x^11 + 13 . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre antiderivadas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar cada termo da função f(x) .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função primitiva. Basicamente, uma primitiva de uma função f(x) é outra função F(x) cuja derivada é exatamente f(x) . Ou seja, F'(x) = f(x) . Para encontrar F(x) , precisamos integrar cada termo de f(x) .

Passo 3

Vamos dividir a função f(x) em três termos para facilitar a integração:
  1. x^-3
  2. x^11
  3. 13
Vamos integrar cada um separadamente.

Passo 4

Integrando x^-3 :
A regra para integrar x^n é integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C , onde C é a constante de integração e n neq -1 .
Aplicando isso:
integral x^-3 , dx = x^-3+1-3+1 + C = x^-2-2 + C = -12x^-2

Passo 5

Integrando x^11 :
Usando a mesma regra:
integral x^11 , dx = x^11+111+1 + C = x^1212 + C

Passo 6

Integrando 13 :
Lembrando que a integral de uma constante a em relação a x é a x :
integral 13 , dx = 13x + C

Passo 7

Agora, juntando todas as integrais:
F(x) = -12x^-2 + x^1212 + 13x + C
Onde C é a constante de integração que representa todas as possíveis primitivas.

Passo 8

Para verificar se nossa função primitiva está correta, vamos diferenciar F(x) e ver se obtemos f(x) .
Derivando termo a termo:
  1. Derivada de -12x^-2 :
-12 cdot (-2)x^-3 = x^-3
  1. Derivada de x^1212 :
12x^1112 = x^11
  1. Derivada de 13x :
13
Somando as derivadas:
x^-3 + x^11 + 13 = f(x)
Então, F'(x) = f(x) , confirmando que nossa primitiva está correta.

Resposta

A função primitiva mais geral de f(x) = x^-3 + x^11 + 13 é:
F(x) = -12x^-2 + x^1212 + 13x + C
onde C é a constante de integração.

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