Encontre a função primitiva
mais geral da função
. Verifique sua resposta diferenciando o resultado, isto é,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função primitiva
da função dada
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre antiderivadas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar cada termo da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função primitiva. Basicamente, uma primitiva de uma função
é outra função
cuja derivada é exatamente
. Ou seja,
. Para encontrar
, precisamos integrar cada termo de
.
Passo 3
Vamos dividir a função
em três termos para facilitar a integração:
Vamos integrar cada um separadamente.
Passo 4
Integrando
:
A regra para integrar
é
, onde
é a constante de integração e
.
Aplicando isso:
Passo 5
Integrando
:
Usando a mesma regra:
Passo 6
Integrando
:
Lembrando que a integral de uma constante
em relação a
é
:
Passo 7
Agora, juntando todas as integrais:
Onde
é a constante de integração que representa todas as possíveis primitivas.
Passo 8
Para verificar se nossa função primitiva está correta, vamos diferenciar
e ver se obtemos
.
Derivando termo a termo:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Somando as derivadas:
Então,
, confirmando que nossa primitiva está correta.
Resposta
A função primitiva mais geral de
é:
onde
é a constante de integração.