Suponha f e g funções integráveis e integral1^2 f(x) d x=-3, integral1^5 f(x) d x=7 e integral1^5 g(x) d x=6. Calcule o valor numérico das integrais abaixo.
integral1^5[4 f(x)-g(x)] d x

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve integrais. O enunciado nos dá valores de integrais de duas funções, f(x) e g(x) , em certos intervalos. Nosso objetivo é calcular o valor da integral integral1^5 [4f(x) - g(x)] , dx . Para isso, vamos usar conceitos de propriedades das integrais, especialmente a linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral definida tem a propriedade da linearidade, ou seja, para constantes a e b e funções f(x) e g(x) :
integrala^b [c1 f(x) + c2 g(x)] , dx = c1 integrala^b f(x) , dx + c2 integrala^b g(x) , dx
No nosso caso, temos 4f(x) - g(x) , então podemos separar a integral assim:
integral1^5 [4f(x) - g(x)] , dx = 4 integral1^5 f(x) , dx - integral1^5 g(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que nos foram dados:
  • Sabemos que integral1^5 f(x) , dx = 7
  • E que integral1^5 g(x) , dx = 6
Substituindo na expressão:
4 times 7 - 6 = 28 - 6 = 22

Resposta

O valor da integral integral1^5 [4f(x) - g(x)] , dx é 22.

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