Encontre a função primitiva F(x) mais geral da função f(x). Verifique sua resposta diferenciando o resultado, isto é, F^prime(x)=f(x).
f(x)=5 x^-1 / 4-7 x^3 / 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A parada aqui é encontrar a função primitiva F(x) da função dada f(x) = 5x^-1/4 - 7x^3/4 . Basicamente, estamos procurando uma função cuja derivada seja exatamente f(x) . Para isso, vamos usar as regras de integração de potências, que são parte do cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como integrar funções do tipo x^n . A regra básica de integração para esse tipo de função é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração. Essa regra vale para qualquer n diferente de -1.

Passo 3

Vamos aplicar essa regra para cada termo da nossa função f(x) . Começando com o primeiro termo 5x^-1/4 :
integral 5x^-1/4 , dx = 5 cdot x^-1/4 + 1-1/4 + 1 + C = 5 cdot x^3/43/4 + C = 203x^3/4 + C

Passo 4

Agora, para o segundo termo -7x^3/4 :
integral -7x^3/4 , dx = -7 cdot x^3/4 + 13/4 + 1 + C = -7 cdot x^7/47/4 + C = -4x^7/4 + C

Passo 5

Juntando os dois resultados, a função primitiva geral F(x) é:
F(x) = 203x^3/4 - 4x^7/4 + C

Passo 6

Agora, vamos verificar se está tudo certo diferenciando F(x) . A derivada de 203x^3/4 é 20/3 cdot 3/4 cdot x^-1/4 = 5x^-1/4 . Já a derivada de -4x^7/4 é -4 cdot 7/4 cdot x^3/4 = -7x^3/4 . A constante C desaparece na derivada. Assim, F'(x) = 5x^-1/4 - 7x^3/4 , que é exatamente a função f(x) que a gente tinha.

Resposta

A função primitiva mais geral de f(x) é:
F(x) = 203x^3/4 - 4x^7/4 + C

Exercícios relacionados