Encontre a função primitiva F(x) mais geral da função f(x). Verifique sua resposta diferenciando o resultado, isto é, F^prime(x)=f(x).
f(x)=raizx2+5raiz[5]x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função primitiva F(x) mais geral da função f(x) dada e depois verificar se a derivada de F(x) realmente retorna f(x) . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com a integração de funções. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração para potências de x .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(x) para facilitar a integração. A função dada é:
f(x) = raizx2 + 5raiz[5]x
Podemos reescrever as raízes com expoentes fracionários:
raizx = x^1/2 e raiz[5]x = x^1/5
Então, a função fica:
f(x) = x^1/22 + 5x^-1/5

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica para integrar x^n é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração.
Vamos aplicar isso a cada termo de f(x) .

Passo 4

Integrando o primeiro termo:
integral x^1/22 , dx = 12 integral x^1/2 , dx = 12 cdot x^1/2 + 11/2 + 1 = 12 cdot x^3/23/2 = x^3/23

Passo 5

Agora, integrando o segundo termo:
integral 5x^-1/5 , dx = 5 integral x^-1/5 , dx = 5 cdot x^-1/5 + 1-1/5 + 1 = 5 cdot x^4/54/5 = 254 x^4/5

Passo 6

Juntando as integrais dos dois termos e adicionando a constante de integração C , temos a função primitiva geral:
F(x) = x^3/23 + 254 x^4/5 + C

Passo 7

Para verificar se F^prime(x) = f(x) , vamos derivar F(x) :
F(x) = x^3/23 + 254 x^4/5 + C
Derivando termo a termo:
F^prime(x) = 32 cdot x^3/2 - 13 + 254 cdot 45 x^4/5 - 1 + 0
Simplificando:
F^prime(x) = x^1/22 + 5x^-1/5
Que é exatamente a função f(x) que queríamos!

Resposta

A função primitiva mais geral de f(x) é:
F(x) = x^3/23 + 254 x^4/5 + C

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