Encontre a função primitiva
mais geral da função
. Verifique sua resposta diferenciando o resultado, isto é,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função primitiva
mais geral da função
dada e depois verificar se a derivada de
realmente retorna
. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com a integração de funções. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração para potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
para facilitar a integração. A função dada é:
Podemos reescrever as raízes com expoentes fracionários:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica para integrar
é:
onde
é a constante de integração.
Vamos aplicar isso a cada termo de
.
Passo 4
Integrando o primeiro termo:
Passo 5
Agora, integrando o segundo termo:
Passo 6
Juntando as integrais dos dois termos e adicionando a constante de integração
, temos a função primitiva geral:
Passo 7
Para verificar se
, vamos derivar
:
Derivando termo a termo:
Simplificando:
Que é exatamente a função
que queríamos!
Resposta
A função primitiva mais geral de
é: