Encontre a função primitiva
mais geral da função
. Verifique sua resposta diferenciando o resultado, isto é,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A tarefa é encontrar a função primitiva
mais geral da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente da integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções que envolvem seno e cosseno, além de entender que a função primitiva inclui uma constante de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que encontrar a função primitiva é basicamente encontrar a integral da função dada. Então, queremos calcular:
Passo 3
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada parte individualmente.
Para a primeira integral,
, usamos a regra de integração de funções do tipo
, que é:
Aqui,
, então:
Passo 5
Para a segunda integral,
, lembramos que a integral de
é
. Então:
Passo 6
Agora, juntamos os resultados das integrais:
Aqui,
é a constante de integração que representa a “familia” de todas as funções primitivas possíveis.
Passo 7
Para verificar se nossa resposta está correta, vamos diferenciar
e ver se obtemos
.
Vamos derivar cada termo de
:
Calculando cada derivada:
Então, juntando tudo:
Que é exatamente o
que começamos!
Resposta
A função primitiva mais geral de
é: