Encontre a função primitiva F(x) mais geral da função f(x). Verifique sua resposta diferenciando o resultado, isto é, F^prime(x)=f(x).
f(x)=sen 2 x-2 cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A tarefa é encontrar a função primitiva F(x) mais geral da função f(x) = sin 2x - 2cos x . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente da integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções que envolvem seno e cosseno, além de entender que a função primitiva inclui uma constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que encontrar a função primitiva é basicamente encontrar a integral da função dada. Então, queremos calcular:
F(x) = integral f(x) , dx = integral (sin 2x - 2cos x) , dx

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
F(x) = integral sin 2x , dx - 2integral cos x , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada parte individualmente.
Para a primeira integral, integral sin 2x , dx, usamos a regra de integração de funções do tipo sin(kx), que é:
integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C
Aqui, k = 2, então:
integral sin 2x , dx = -12 cos 2x

Passo 5

Para a segunda integral, -2integral cos x , dx, lembramos que a integral de cos x é sin x. Então:
-2integral cos x , dx = -2 sin x

Passo 6

Agora, juntamos os resultados das integrais:
F(x) = -12 cos 2x - 2sin x + C
Aqui, C é a constante de integração que representa a “familia” de todas as funções primitivas possíveis.

Passo 7

Para verificar se nossa resposta está correta, vamos diferenciar F(x) e ver se obtemos f(x) .
Vamos derivar cada termo de F(x) :
F'(x) = ddx(-12 cos 2x) + ddx(-2sin x) + ddx(C)
Calculando cada derivada:
ddx(-12 cos 2x) = -12 cdot (-2sin 2x) = sin 2x
ddx(-2sin x) = -2cos x
ddx(C) = 0
Então, juntando tudo:
F'(x) = sin 2x - 2cos x
Que é exatamente o f(x) que começamos!

Resposta

A função primitiva mais geral de f(x) é:
F(x) = -12 cos 2x - 2sin x + C

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