Encontre a função primitiva
mais geral da função
. Verifique sua resposta diferenciando o resultado, isto é,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a função primitiva
da função
. A matéria envolvida aqui são as integrais, especificamente a integração de funções polinomiais com expoentes negativos. Vamos precisar calcular a integral de
e depois verificar se, ao derivar
, voltamos para
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
para facilitar a integração. Temos:
Agora, a função está mais simples e pronta para ser integrada termo a termo.
Passo 3
Vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se que a integral de
é
, onde
é a constante de integração.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Passo 4
Agora, juntamos as integrais dos dois termos:
Ou, de forma mais comum:
Onde
é a constante de integração que representa a família de primitivas.
Passo 5
Vamos verificar se nossa primitiva está correta diferenciando
e vendo se obtemos
.
Derivando
:
Que é exatamente
. Então, nossa primitiva está correta!
Resposta
A função primitiva mais geral de
é:
onde
é a constante de integração.