Encontre a função primitiva F(x) mais geral da função f(x). Verifique sua resposta diferenciando o resultado, isto é, F^prime(x)=f(x).
f(x)=x^-3(x+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a função primitiva F(x) da função f(x) = x^-3(x + 1) . A matéria envolvida aqui são as integrais, especificamente a integração de funções polinomiais com expoentes negativos. Vamos precisar calcular a integral de f(x) e depois verificar se, ao derivar F(x) , voltamos para f(x) .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de f(x) para facilitar a integração. Temos:
f(x) = x^-3(x + 1) = x^-3 cdot x + x^-3 cdot 1 = x^-2 + x^-3
Agora, a função está mais simples e pronta para ser integrada termo a termo.

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se que a integral de x^n é x^n+1n+1 + C , onde C é a constante de integração.
Primeiro termo:
integral x^-2 , dx = x^-2 + 1-2 + 1 + C = x^-1-1 + C = -x^-1 + C
Segundo termo:
integral x^-3 , dx = x^-3 + 1-3 + 1 + C = x^-2-2 + C = -12x^-2 + C

Passo 4

Agora, juntamos as integrais dos dois termos:
F(x) = -x^-1 - 12x^-2 + C
Ou, de forma mais comum:
F(x) = -1x - 12x^2 + C
Onde C é a constante de integração que representa a família de primitivas.

Passo 5

Vamos verificar se nossa primitiva está correta diferenciando F(x) e vendo se obtemos f(x) .
Derivando F(x) :
F'(x) = ddx(-1x) + ddx(-12x^2) + ddx(C)
F'(x) = 1x^2 + 1x^3 + 0 = x^-2 + x^-3
Que é exatamente f(x) . Então, nossa primitiva está correta!

Resposta

A função primitiva mais geral de f(x) é:
F(x) = -1x - 12x^2 + C
onde C é a constante de integração.

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