Questão 10 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x-\sin (3 x)}{x^{3}} é igual a
(A) \frac{1}{6}.
B 0 .
(C) \frac{4}{3}.
\frac{9}{2}
(E) 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to0}\frac{3x-\sin(3x)}{x^3}.
Esse tipo de limite envolvendo funções trigonométricas e potências costuma ser resolvido usando a expansão de Taylor (Maclaurin) de \sin em torno de zero ou aplicando a regra de L’Hôpital várias vezes. Aqui vamos usar a série de Taylor de \sin(3x).

Passo 2

Recordando a série de Taylor de \sin u em torno de u=0:
\sin u = u - \frac{u^3}{6} + O(u^5).
Fazendo u=3x, obtemos
\sin(3x) = 3x - \frac{(3x)^3}{6} + O(x^5) =3x - \frac{27x^3}{6} + O(x^5) =3x - \frac{9}{2}\,x^3 + O(x^5).

Passo 3

Agora substituímos essa expansão no numerador:
3x - \sin(3x) =3x - \Bigl(3x - \frac{9}{2}\,x^3 + O(x^5)\Bigr) =\frac{9}{2}\,x^3 + O(x^5).

Passo 4

Dividindo pelo x^3 e tomando o limite x\to0, temos
\frac{3x - \sin(3x)}{x^3} =\frac{\frac{9}{2}\,x^3 + O(x^5)}{x^3} =\frac{9}{2} + O(x^2) \longrightarrow \frac{9}{2}.

Resposta

(D) \displaystyle \frac{9}{2}

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