Encontre a função
que satisfaz a equação Laplace
no retângulo
, e as condições de contorno
nos casos em que a função
é dada por
.
Passo 1
O problema é
com condições de contorno
O método será Separação de Variáveis e expansão de Fourier em senos no intervalo
.
Passo 2
Propondo
substituímos na equação de Laplace e separam-se as variáveis:
Como
, escolhemos
Então
tem solução que anula em
:
Portanto a forma geral é
Passo 3
Para satisfazer
escrevemos
Isto é uma série de Fourier–Seno em
. Se chamarmos
então a expansão é
logo
Passo 4
Calculemos
Fazendo integração por partes duas vezes obtém-se
Passo 5
Logo
Passo 6
A solução final fica