Encontre a função u(x, y) que satisfaz a equação Laplace
u_{x x}+u_{y y}=0,no retângulo 0<x<a, 0<y<b, e as condições de contorno
\begin{gathered} u(x, 0)=0, \quad u(x, b)=0, \quad 0<x<a, \\ u(0, y)=0, \quad u(a, y)=f(y), \quad 0 \leqslant y \leqslant b,\end{gathered}nos casos em que a função f é dada por
f(y)=y^{2}, \quad 0 \leqslant y \leqslant 1.

Passo 1

O problema é
u_{xx}+u_{yy}=0,\quad 0<x<a,\;0<y<1,
com condições de contorno
u(x,0)=0,\quad u(x,1)=0,\quad u(0,y)=0,\quad u(a,y)=f(y)=y^2.
O método será Separação de Variáveis e expansão de Fourier em senos no intervalo 0<y<1.

Passo 2

Propondo
u(x,y)=X(x)\,Y(y),
substituímos na equação de Laplace e separam-se as variáveis:
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=\lambda.
Como u(x,0)=u(x,1)=0, escolhemos
Y_n(y)=\sin(n\pi y),\quad \lambda_n=(n\pi)^2,\;n=1,2,\dots
Então
X_n''-\,(n\pi)^2X_n=0
tem solução que anula em x=0:
X_n(x)=B_n\operatorname{sinh}(n\pi x).
Portanto a forma geral é
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\,\operatorname{sinh}(n\pi x)\,\sin(n\pi y).

Passo 3

Para satisfazer u(a,y)=y^2 escrevemos
y^2=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\,\operatorname{sinh}(n\pi a)\,\sin(n\pi y).
Isto é uma série de Fourier–Seno em [0,1]. Se chamarmos
A_n=\;2\int_{0}^{1}y^2\sin(n\pi y)\,dy,
então a expansão é
y^2=\sum_{n=1}^\infty A_n\sin(n\pi y),
logo
B_n=\frac{A_n}{\operatorname{sinh}(n\pi a)}.

Passo 4

Calculemos
A_n=2\int_{0}^{1}y^2\sin(n\pi y)\,dy.
Fazendo integração por partes duas vezes obtém-se
A_n=-\frac{2(-1)^n}{n\pi}+\frac{4\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^3\pi^3}.

Passo 5

Logo
B_n=\frac{1}{\operatorname{sinh}(n\pi a)}\Bigl[ -\frac{2(-1)^n}{n\pi}+\frac{4\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^3\pi^3} \Bigr].

Passo 6

A solução final fica
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ -\frac{2(-1)^n}{n\pi}+\frac{4\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^3\pi^3} \Bigr]\, \frac{\operatorname{sinh}\bigl(n\pi x\bigr)}{\operatorname{sinh}\bigl(n\pi a\bigr)}\, \sin\bigl(n\pi y\bigr).

Resposta

u(x,y) =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ -\frac{2(-1)^n}{n\pi}+\frac{4\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^3\pi^3} \Bigr]\, \frac{\operatorname{sinh}(n\pi x)}{\operatorname{sinh}(n\pi a)}\,\sin(n\pi y).

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