Questão 11 \lim _{x \rightarrow 0}(1-6 x)^{1 / 2 x} é igual a
(A) 1 .
(B) e^{-6}
(C) e^{2}.
(D) e^{-3}
(E) e^{-2}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to0}(1-6x)^{1/(2x)},
que é uma forma indeterminada do tipo 1^\infty. Para resolver, vamos usar logaritmo natural e exponencial.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to0}(1-6x)^{1/(2x)}.
Aplicando o ln e depois exponencial, temos
L = \exp\Bigl(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1-6x)}{2x}\Bigr).

Passo 3

Para avaliar \lim_{x\to0}\frac{\ln(1-6x)}{2x}, usamos a aproximação \ln(1+u)\approx u para u pequeno. Aqui u=-6x, logo
\ln(1-6x) = -6x + o(x).

Passo 4

Substituindo na razão,
\frac{\ln(1-6x)}{2x} = \frac{-6x + o(x)}{2x} = -3 + o(1).
Portanto
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1-6x)}{2x} = -3.

Passo 5

Voltando à expressão de L,
L = \exp(-3) = e^{-3}.
Essa é a alternativa (D).

Resposta

(D) e^{-3}

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