1- Encontre a função y(x) que minimiza o funcional
J[y]=\int_{0}^{1}\left(y^{\prime}(x)\right)^{2} d x
sujeita às condições de contorno y(0)=0 e y(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede encontrar y(x) que minimiza
J[y]=\int_{0}^{1}\bigl(y'(x)\bigr)^{2}\,dx
sujeito a y(0)=0 e y(1)=1. Esse é um clássico problema de cálculo das variações, resolvido via equação de Euler–Lagrange.

Passo 2

Identificamos a lagrangiana
L\bigl(x,y,y'\bigr)=\bigl(y'\bigr)^{2}.
A equação de Euler–Lagrange é
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{\partial L}{\partial y'}\Bigr)-\frac{\partial L}{\partial y}=0.
Como \partial L/\partial y'=2y' e \partial L/\partial y=0, temos
\frac{d}{dx}(2y')=0 \;\Longrightarrow\; y''(x)=0.

Passo 3

Integrando y''(x)=0 duas vezes, achamos
y'(x)=C_{1}, \quad y(x)=C_{1}\,x+C_{2}.
Impondo y(0)=0 C_{2}=0, e y(1)=1 C_{1}=1. Logo
y(x)=x.

Resposta

y(x)=x.

Exercícios relacionados