Seja x in R. Resolva as equações
3^x=27 cdot log 10(x^2+1).

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
3^x ;=; 27;log10l(x^2+1r)
O assunto é equação transcendente, e vamos precisar usar dois ingredientes principais: reescrever 27 como potência de 3, definir a função
f(x)=3^x-27,log10l(x^2+1r)
e depois aplicar o Teorema do Valor Intermediário junto com um método numérico (bisseção) para localizar as raízes.

Passo 2

Repare que 27=3^3, então a equação fica
3^x=3^3,log10l(x^2+1r) Long<=ftrightarrow 3^x-27,log10l(x^2+1r)=0,
ou seja, queremos os zeros de f(x)=3^x-27log10(x^2+1). Note que x^2+1>0 para todo x, logo log10(x^2+1) está bem definido em R.

Passo 3

Verifiquemos raízes “óbvias” por inspeção. Se x=3, então
3^x=3^3=27, log10l(3^2+1r)=log10(10)=1,
logo
27=27cdot1,
e x=3 satisfaz a equação. Portanto, x=3 é uma solução exata.

Passo 4

Para localizar outras raízes, usamos o Teorema do Valor Intermediário em intervalos onde f troca de sinal. Primeiro, calculemos
f(-1)=3^-1-27,log10(2)approx 0,3333 - 27cdot0,3010approx -7,79<0,
f(0)=3^0-27,log10(1)=1-0=1>0
Como f(-1)<0 e f(0)>0, existe ao menos uma raiz em (-1,0). Aplicando o método da bisseção e refinando até três casas decimais, obtemos
xapprox -0,257

Passo 5

Analogamente, entre 0 e 1 temos
f(0)=1>0, f(1)=3-27,log10(2)approx 3 - 8,13approx -5,13<0,
logo há uma raiz em (0,1). Repetindo a bisseção até três casas decimais, achamos
xapprox 0,371

Resposta

As soluções reais da equação são
xapprox -0,257, xapprox 0,371, x=3

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