Seja x in R. Resolva as equações
2^x=4 cdot log 2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação transcendental
2^x=4;log2x,
onde o conteúdo envolve funções exponencial e logarítmica e exigirá raciocínio sobre domínio, existência de raízes e, para além de uma solução exata, busca numérica de outra raiz.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=2^x-4;log2x
e observamos o domínio de f: como log2x só está definido para x>0, devemos ter
x>0

Passo 3

Verificamos raízes óbvias por substituição. Para x=2:
2^2=4, 4;log22=4cdot1=4
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f(2)=4-4=0,
portanto x=2 é solução exata.

Passo 4

Para ver se há outras raízes, estudamos o comportamento de f.
  1. À medida que xto0^+, temos 2^xto1 e log2xto-infty, então f(x)to+infty.
  2. Em x=2, f(2)=0.
  3. Cálculo de f'(x):
f'(x)=ln2;2^x-4x,ln2
Isso mostra que f decresce até um mínimo (onde f'<0), depois cresce (pois f' muda de sinal). Como f(2)=0 e logo após f torna-se ligeiramente negativo antes de subir de novo para +infty, conclui-se que existem exatamente duas raízes positivas: uma em x=2 e outra um pouco acima de 2.

Passo 5

Usamos um método de bisseção (ou Newton) no intervalo em torno de 2,04 2,06 para localizar a segunda raiz. Encontramos, por exemplo,
xapprox2,048,
Verificando rapidamente:
2^2,048approx4,1358,4;log2(2,048)approx4,1358,
o que confirma f(x)approx0.

Resposta

As soluções reais da equação são
x=2 e xapprox2,048

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