Seja
. Resolva as equações
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação transcendental
onde o conteúdo envolve funções exponencial e logarítmica e exigirá raciocínio sobre domínio, existência de raízes e, para além de uma solução exata, busca numérica de outra raiz.
Passo 2
Definimos a função
e observamos o domínio de
: como
só está definido para
, devemos ter
Passo 3
Verificamos raízes óbvias por substituição. Para
:
logo
portanto
é solução exata.
Passo 4
Para ver se há outras raízes, estudamos o comportamento de
.
- À medida que
, temos e , então . - Em
, . - Cálculo de
:
Isso mostra que
decresce até um mínimo (onde
), depois cresce (pois
muda de sinal). Como
e logo após
torna-se ligeiramente negativo antes de subir de novo para
, conclui-se que existem exatamente duas raízes positivas: uma em
e outra um pouco acima de 2.
Passo 5
Usamos um método de bisseção (ou Newton) no intervalo em torno de
–
para localizar a segunda raiz. Encontramos, por exemplo,
Verificando rapidamente:
o que confirma
.
Resposta
As soluções reais da equação são