QUESTÃO 03 (Valor: 2,5 pts) Encontre
se a equação
define
como uma função de duas variáveis independentes
e y e a derivada parcial existir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $, a partir da equação $ y z - \ln z = x + y $. Isso envolve o conteúdo de derivadas parciais e diferenciação implícita, que vamos usar para resolver essa parada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma equação que relaciona $ z $ com $ x $ e $ y $, e queremos encontrar uma derivada parcial, podemos usar a diferenciação implícita. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $, tratando $ y $ como constante e $ z $ como função de $ x $.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da equação $ y z - \ln z = x + y $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ y z $ em relação a $ x $: como $ y $ é constante, fica $ y \frac{\partial z}{\partial x} $.
- Derivada de $ \ln z $ em relação a $ x $: usando a regra da cadeia, fica $ \frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial x} $.
- Derivada de $ x $ em relação a $ x $: é 1.
- Derivada de $ y $ em relação a $ x $: como $ y $ é constante, é 0.
Então, diferenciando ambos os lados:
Passo 4
Agora, vamos isolar $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Então:
Resposta
A derivada parcial $ \frac{\partial z}{\partial x} $ é igual a $ \frac{1}{y - \frac{1}{z}} $.