Encontre a f.d.a das funções abaixo
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício onde precisamos encontrar a Função de Densidade Acumulada (f.d.a) para quatro funções diferentes. Isso está dentro do conteúdo de Probabilidade e Estatística, mais especificamente em Distribuições de Probabilidade. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções e entender algumas distribuições conhecidas.
Passo 2
1. $ f(x) = x e{-\frac{x{2}}{2}}, \quad 0 < x < \infty $
Primeiro, vamos lembrar que a Função de Densidade Acumulada (f.d.a), ou CDF, é a integral da função de densidade de probabilidade $ f(x) $ desde o início do intervalo até o ponto $ x $. Então, para esta função:
Para resolver essa integral, podemos usar a substituição $ u = \frac{t^{2}}{2} $, então $ du = t dt $. Isso simplifica a integral para:
Passo 3
2. $ f(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} x^{2} e{-\frac{x{2}}{2}}, \quad 0 < x < \infty $
Aqui, mais uma vez, a f.d.a é a integral de $ f(x) $ de 0 até $ x $:
Para resolver essa integral, usamos por partes ou reconhecemos que está relacionada à função de erro ($ erf $). Contudo, uma forma direta é observar que:
Então, aplicando os limites:
Passo 4
3. $ f(x) = \frac{1}{2} e^{-|x-\mu|}, \quad -\infty < x < \infty $
Esta é a função de densidade da distribuição de Laplace. Para encontrar a f.d.a, precisamos considerar dois casos, pois a função possui um valor absoluto.
Para $ x < \mu $:
Para $ x \geq \mu $:
Então, juntando os dois casos:
Passo 5
4. $ f(x) = \left(\frac{\alpha}{c}\right)\left(\frac{c}{x}\right)^{\alpha+1}, \quad c < x < \infty, \quad \alpha, c > 0 $
Esta é a função de densidade da distribuição de Pareto. A f.d.a é:
Resolvendo a integral:
Resposta
As Funções de Densidade Acumulada (f.d.a) das funções fornecidas são:
- $ F(x) = 1 - e{-\frac{x{2}}{2}} $
- $ F(x) = 1 - e{-\frac{x{2}}{2}} (1 + x) $
- $ F(x) = 1 - \left(\frac{c}{x}\right)^{\alpha} $