Encontre fx=partial fpartial x, fy=partial fpartial y e fz=partial fpartial z nos seguintes casos.
f(x, y)=x^2 cos y+e^x y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=x^2cos y + e^xy
em relação a x, y e z. Vamos usar as regras de derivação parcial: ao derivar em relação a uma variável, tratamos as demais como constantes e aplicamos produto, cadeia e derivada de funções elementares.

Passo 2

Para fx=partial fpartial x derivamos cada termo de f em relação a x:
  • Em x^2cos y, cos y é constante, logo a derivada é 2xcos y.
  • Em e^xy, usamos a regra da cadeia: a derivada de e^u é e^uu', com u=xy e u'=partial (xy)partial x=y.
    Logo,
fx = 2xcos y + y,e^xy

Passo 3

Para fy=partial fpartial y derivamos cada termo de f em relação a y:
  • Em x^2cos y, x^2 é constante e a derivada de cos y é -sin y, resultando em -x^2sin y.
  • Em e^xy, novamente pela cadeia, u=xy e partial (xy)partial y=x, ficando x,e^xy.
    Assim,
fy = -,x^2sin y + x,e^xy

Passo 4

Para fz=partial fpartial z, como f não depende de z, a derivada em relação a z é zero:
fz = 0

Resposta

fx = 2xcos y + y,e^xy
fy = -x^2sin y + x,e^xy
fz = 0

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