Para a hélice circular sigma(t)=(cos t, sen t, t), determine:
(a) os vetores T, N e B;
(b) as equações do plano normal e do plano osculador da hélice no ponto p=(1,0,0)
(c) o comprimento de arco s, medido a partir de p=(1,0,0);
(d) uma reparametrização utilizando o comprimento de arco obtido no item anterior;
(e) a curvatura no ponto p=(1,0,0).

Passo 1

O enunciado trata da hélice circular
sigma(t) = (cos t,;sin t,;t)
e pede (a) o triêdrico de Frenet (T,N,B), (b) as equações do plano normal e do plano osculador em p=(1,0,0), (c) o comprimento de arco s a partir de p, (d) a reparametrização por comprimento de arco, e (e) a curvatura em p. Vamos aplicar cálculo de derivadas de curvas no espaço e fórmulas de Frenet.

Passo 2

Calcular o vetor tangente unitário T(t). Primeiro
sigma'(t) = (-sin t,;cos t,;1),
|sigma'(t)| = raizsin^2t+cos^2t+1 = raiz2
Logo
T(t) = sigma'(t)|sigma'(t)| = 1raiz2l(-sin t,;cos t,;1r)

Passo 3

Calcular o vetor normal unitário N(t). Derivando T(t) obtemos
T'(t) = 1raiz2l(-cos t,;- sin t,;0r),
e
|T'(t)| = 1raiz2raizcos^2t+sin^2t = 1raiz2
Assim
N(t) = T'(t)|T'(t)| = l(-cos t,;- sin t,;0r)

Passo 4

Calcular o vetor binormal B(t) pela regra do produto vetorial
B(t) = T(t)times N(t)
Fazendo o determinante, chega-se a
B(t) = 1raiz2l(sin t,;- cos t,;1r)

Passo 5

Determinar o parâmetro t0 correspondente a p=(1,0,0). Da primeira coordenada cos t0=1 e da terceira t0=0. Logo t0=0. Avaliando:
T(0) = 1raiz2(0,1,1), N(0) = (-1,0,0), B(0) = 1raiz2(0,-1,1)

Passo 6

Escrever os planos no ponto p.
Plano normal: normal é T(0), então
T(0)cdot (x-1,y-0,z-0)=0 ;Longrightarrow; (0,1,1)cdot(x-1,y,z)=0 ;Longrightarrow; y+z=0
Plano osculador: normal é B(0), então
B(0)cdot (x-1,y,z)=0 ;Longrightarrow; (0,-1,1)cdot(x-1,y,z)=0 ;Longrightarrow; -z+y=0 ;Longrightarrow; z=y

Passo 7

Calcular o comprimento de arco a partir de t0=0:
s(t) = integral0^t|sigma'(u)|,du = integral0^traiz2,du = raiz2,t

Passo 8

Obter a reparametrização por arco s. Invertendo s=raiz2,t t = tfracsraiz2. Logo
sigma(s) = l(cos(tfracsraiz2),;sin(tfracsraiz2),;tfracsraiz2r)

Passo 9

Calcular a curvatura kappa. Pela fórmula
kappa(t) = |sigma'(t)timessigma''(t)||sigma'(t)|^3
ou kappa= |T'(t)|/|sigma'(t)|. Já vimos |sigma'|=raiz2 e |T'|=1/raiz2, então
kappa = 1/raiz2raiz2 = 12
Em particular, em p a curvatura vale tfrac12.

Resposta

(a)
T(t)=1raiz2l(-sin t,cos t,1r), N(t)=(-cos t,-sin t,0), B(t)=1raiz2(sin t,-cos t,1)
(b) Plano normal: y+z=0. Plano osculador: z=y.
(c) s(t)=raiz2,t.
(d) sigma(s)=l(cos(tfracsraiz2),sin(tfracsraiz2),tfracsraiz2r)
(e) kappa=tfrac12.

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