Para a hélice circular
, determine:
(a) os vetores
e
;
(b) as equações do plano normal e do plano osculador da hélice no ponto
(c) o comprimento de arco
, medido a partir de
;
(d) uma reparametrização utilizando o comprimento de arco obtido no item anterior;
(e) a curvatura no ponto
.
(a) os vetores
(b) as equações do plano normal e do plano osculador da hélice no ponto
(c) o comprimento de arco
(d) uma reparametrização utilizando o comprimento de arco obtido no item anterior;
(e) a curvatura no ponto
Passo 1
O enunciado trata da hélice circular
e pede (a) o triêdrico de Frenet
, (b) as equações do plano normal e do plano osculador em
, (c) o comprimento de arco
a partir de
, (d) a reparametrização por comprimento de arco, e (e) a curvatura em
. Vamos aplicar cálculo de derivadas de curvas no espaço e fórmulas de Frenet.
Passo 2
Calcular o vetor tangente unitário
. Primeiro
Logo
Passo 3
Calcular o vetor normal unitário
. Derivando
obtemos
e
Assim
Passo 4
Calcular o vetor binormal
pela regra do produto vetorial
Fazendo o determinante, chega-se a
Passo 5
Determinar o parâmetro
correspondente a
. Da primeira coordenada
e da terceira
. Logo
. Avaliando:
Passo 6
Escrever os planos no ponto
.
Plano normal: normal é
, então
Plano osculador: normal é
, então
Passo 7
Calcular o comprimento de arco a partir de
:
Passo 8
Obter a reparametrização por arco
. Invertendo
dá
. Logo
Passo 9
Calcular a curvatura
. Pela fórmula
ou
. Já vimos
e
, então
Em particular, em
a curvatura vale
.
Resposta
(a)
(b) Plano normal:
. Plano osculador:
.
(c) .
(d)
(e) .
(c)
(d)
(e)