Encontre o plano tangente à superfície
z=\ln (x+y)
no ponto (1,1, \ln 2).

Passo 1

O enunciado dá a superfície z=\ln(x+y) e pede o plano tangente a essa superfície no ponto (1,1,\ln 2).
Informações fornecidas:
  • A função que define a superfície é f(x,y)=\ln(x+y), então z=f(x,y).
  • O ponto de tangência é \big(1,1,\ln 2\big).
O que é pedido:
  • Determinar a equação do plano tangente à superfície em \big(1,1,\ln 2\big).

Passo 2

Entendendo o que é o plano tangente e qual fórmula usar (aula rápida e direta).
  • Para uma superfície dada por z=f(x,y), o plano tangente no ponto (x_0,y_0,z_0) é a aproximação linear de f perto desse ponto.
  • A fórmula padrão do plano tangente é
z = z_0 + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0),
onde f_x é a derivada parcial de f em relação a x e f_y é a derivada parcial em relação a y.
  • O que significa cada coisa:
    • z_0 é o valor de z no ponto, ou seja z_0=f(x_0,y_0).
    • f_x(x_0,y_0) mede a inclinação da superfície na direção x naquele ponto (mantendo y fixo).
    • f_y(x_0,y_0) mede a inclinação da superfície na direção y naquele ponto (mantendo x fixo).
  • Então nosso plano tangente será obtido calculando f_x e f_y e usando a fórmula acima com (x_0,y_0,z_0)=(1,1,\ln 2).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\ln(x+y) (aqui explico passo a passo).
  • A função interna é u(x,y)=x+y. A regra da cadeia diz que a derivada de \ln(u) é \dfrac{1}{u} multiplicada pela derivada de u.
  • Portanto,
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\ln(x+y)=\frac{1}{x+y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=\frac{1}{x+y}\cdot 1=\frac{1}{x+y}.
  • De forma análoga,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\ln(x+y)=\frac{1}{x+y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=\frac{1}{x+y}\cdot 1=\frac{1}{x+y}.
  • Observação amigável: aqui as duas derivadas parciais deram o mesmo valor porque x e y entram simetricamente em x+y.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto dado (1,1).
  • Substituindo x=1 e y=1 nas expressões encontradas:
f_x(1,1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}, \qquad f_y(1,1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
  • Também verificação do valor de z no ponto:
z_0=f(1,1)=\ln(1+1)=\ln 2.

Passo 5

Montar o plano tangente usando a fórmula da linearização e simplificar (contas passo a passo).
  • Aplique a fórmula
z = z_0 + f_x(1,1)\,(x-1) + f_y(1,1)\,(y-1).
  • Substituindo os valores:
z = \ln 2 + \frac{1}{2}(x-1) + \frac{1}{2}(y-1).
  • Podemos simplificar somando os termos:
z = \ln 2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y + \ln 2 - 1.
  • Ambas as formas são equivalentes; escolha a que preferir escrever na prova.

Resposta

z=\ln 2+\dfrac{1}{2}(x-1)+\dfrac{1}{2}(y-1)

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