Encontre o plano tangente à superfície
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede o plano tangente a essa superfície no ponto
.
Informações fornecidas:
- A função que define a superfície é
, então . - O ponto de tangência é
.
O que é pedido:
- Determinar a equação do plano tangente à superfície em
.
Passo 2
Entendendo o que é o plano tangente e qual fórmula usar (aula rápida e direta).
- Para uma superfície dada por
, o plano tangente no ponto é a aproximação linear de perto desse ponto. - A fórmula padrão do plano tangente é
onde
é a derivada parcial de
em relação a
e
é a derivada parcial em relação a
.
- O que significa cada coisa:
-
é o valor de no ponto, ou seja . -
mede a inclinação da superfície na direção naquele ponto (mantendo fixo). -
mede a inclinação da superfície na direção naquele ponto (mantendo fixo).
-
- Então nosso plano tangente será obtido calculando
e e usando a fórmula acima com .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(aqui explico passo a passo).
- A função interna é
. A regra da cadeia diz que a derivada de é multiplicada pela derivada de . - Portanto,
- De forma análoga,
- Observação amigável: aqui as duas derivadas parciais deram o mesmo valor porque
e entram simetricamente em .
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto dado
.
- Substituindo
e nas expressões encontradas:
- Também verificação do valor de
no ponto:
Passo 5
Montar o plano tangente usando a fórmula da linearização e simplificar (contas passo a passo).
- Aplique a fórmula
- Substituindo os valores:
- Podemos simplificar somando os termos:
- Ambas as formas são equivalentes; escolha a que preferir escrever na prova.