Encontre o gradiente da função f(x, y)=(x^2+y^2)^x y.
Dica: considere a função G(u, v)=u^v e use a Regra da Cadeia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função f(x, y) = (x^2 + y^2)^x y . Isso envolve conceitos de cálculo, como derivadas parciais e a Regra da Cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções de várias variáveis e aplicar a regra da cadeia corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos precisar derivar. Podemos reescrever f(x, y) como G(u, v) = u^v , onde u = x^2 + y^2 e v = x y . Isso vai facilitar a aplicação da Regra da Cadeia.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de G em relação a u e v :
  • Derivada de G em relação a u :
partial Gpartial u = v cdot u^v - 1
  • Derivada de G em relação a v :
partial Gpartial v = u^v cdot ln(u)

Passo 4

Em seguida, calculamos as derivadas parciais de u e v em relação a x e y :
  • Derivadas de u :
partial upartial x = 2x e partial upartial y = 2y
  • Derivadas de v :
partial vpartial x = y e partial vpartial y = x

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y :
  • Derivada parcial de f em relação a x :
partial fpartial x = partial Gpartial u cdot partial upartial x + partial Gpartial v cdot partial vpartial x = v cdot u^v - 1 cdot 2x + u^v cdot ln(u) cdot y
  • Derivada parcial de f em relação a y :
partial fpartial y = partial Gpartial u cdot partial upartial y + partial Gpartial v cdot partial vpartial y = v cdot u^v - 1 cdot 2y + u^v cdot ln(u) cdot x

Passo 6

Substituindo u = x^2 + y^2 e v = x y nas expressões acima, temos:
partial fpartial x = (x y) cdot (x^2 + y^2)^x y - 1 cdot 2x + (x^2 + y^2)^x y cdot ln(x^2 + y^2) cdot y
partial fpartial y = (x y) cdot (x^2 + y^2)^x y - 1 cdot 2y + (x^2 + y^2)^x y cdot ln(x^2 + y^2) cdot x

Resposta

O gradiente da função f(x, y) = (x^2 + y^2)^x y é dado por:
nabla f(x, y) = ( 2x^2 y (x^2 + y^2)^x y - 1 + y (x^2 + y^2)^x y ln(x^2 + y^2), 2x y^2 (x^2 + y^2)^x y - 1 + x (x^2 + y^2)^x y ln(x^2 + y^2) )

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