Mostre que, na equação da onda, se impusermos que as derivadas mistas são sempre nulas, então o comprimento da corda de extremos
e
é constante em todos os momentos. Lembre-se que, em cada instante
, a posição dos pontos na corda é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que, na equação da onda, se a gente impor que as derivadas mistas são sempre nulas, o comprimento da corda entre os pontos
e
permanece constante em todos os momentos. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e a fórmula do comprimento de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva no plano. Se a posição de um ponto na corda é dada por
para cada instante
, então o comprimento
da corda entre
e
pode ser calculado pela integral:
Passo 3
Nosso objetivo é mostrar que
é constante, ou seja, a derivada de
em relação ao tempo
é zero:
Vamos calcular essa derivada.
Passo 4
Aplicando a derivada sob o sinal de integral, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, segundo o enunciado, as derivadas mistas são sempre nulas:
Isso significa que o termo dentro da integral se anula:
Passo 6
Com isso, mostramos que a derivada do comprimento
em relação ao tempo é zero, ou seja, o comprimento da corda permanece constante ao longo do tempo.
Resposta
Portanto, ao impor que as derivadas mistas sejam sempre nulas na equação da onda, o comprimento da corda entre
e
permanece constante em todos os momentos.