Mostre que, na equação da onda, se impusermos que as derivadas mistas são sempre nulas, então o comprimento da corda de extremos x0 e x1 é constante em todos os momentos. Lembre-se que, em cada instante t, a posição dos pontos na corda é dada por (x, f(x, t)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que, na equação da onda, se a gente impor que as derivadas mistas são sempre nulas, o comprimento da corda entre os pontos x0 e x1 permanece constante em todos os momentos. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e a fórmula do comprimento de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva no plano. Se a posição de um ponto na corda é dada por (x, f(x, t)) para cada instante t , então o comprimento L(t) da corda entre x0 e x1 pode ser calculado pela integral:
L(t) = integralx0^x1 raiz1 + ( partial fpartial x )^2 , dx

Passo 3

Nosso objetivo é mostrar que L(t) é constante, ou seja, a derivada de L(t) em relação ao tempo t é zero:
dLdt = 0
Vamos calcular essa derivada.

Passo 4

Aplicando a derivada sob o sinal de integral, temos:
dLdt = integralx0^x1 12 (1 + ( partial fpartial x )^2 )^-1/2 cdot 2 partial fpartial x cdot partial^2 fpartial t partial x , dx
Simplificando:
dLdt = integralx0^x1 partial fpartial x cdot partial^2 fpartial t partial x raiz1 + ( partial fpartial x )^2 , dx

Passo 5

Agora, segundo o enunciado, as derivadas mistas são sempre nulas:
partial^2 fpartial t partial x = 0
Isso significa que o termo dentro da integral se anula:
dLdt = integralx0^x1 0 , dx = 0

Passo 6

Com isso, mostramos que a derivada do comprimento L(t) em relação ao tempo é zero, ou seja, o comprimento da corda permanece constante ao longo do tempo.

Resposta

Portanto, ao impor que as derivadas mistas sejam sempre nulas na equação da onda, o comprimento da corda entre x0 e x1 permanece constante em todos os momentos.

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