Exercício 2: Sendo S o sólido que está acima do plano z=0 e dentro das superfícies de equação x^2+y^2+z^2-2=0 e y=x^2+z^2, calcule o volume de S. (Dica: Na tentativa de determinação da interseção entre as superfícies, considere w=x^2+z^2.)

Passo 1

O enunciado define o sólido S como
  • acima do plano z=0 (ou seja, z>=0),
  • dentro da esfera
x^2+y^2+z^2=2,
  • e “dentro” do paraboloide
y=x^2+z^2
O que precisamos é de integrar em coordenadas adequadas para achar o volume por
V=integral triplaSdV
Para isso primeiro vamos achar a curva de interseção entre esfera e paraboloide.

Passo 2

Na interseção vale simultaneamente
y=x^2+z^2 e x^2+y^2+z^2=2
Defina
w = x^2+z^2
Então a esfera dá
w + y^2=2 Longrightarrow w + w^2=2 Longrightarrow w^2+w-2=0
A solução não-negativa é w=1, e daí y=1. Logo a curva de corte é
x^2+z^2=1, y=1

Passo 3

Para parametrizar S use coordenadas cilíndricas em torno do eixo y:
x = rcostheta, z = rsintheta, y = y,
com elemento de volume dV = r,dr,dtheta,dy.
A condição z>=0 vira sintheta>=0, ou seja thetain[0,pi].

Passo 4

Em cada (r,theta) fixos, y varia de cima do paraboloide até a esfera:
ymin=r^2, ymax=raiz,2 - r^2,
E r vai de 0 até 1 (pela interseção r^2=1). Portanto
thetain[0,pi], rin[0,1], yin[r^2,,raiz2-r^2]

Passo 5

O volume é
V =integraltheta=0^pi!integralr=0^1!integraly=r^2^raiz2-r^2 r,dy,dr,dtheta =piintegral0^1rl(raiz2-r^2-r^2r),dr
Separe em duas parcelas:
I1=integral0^1rraiz2-r^2,dr, I2=integral0^1r^3,dr

Passo 6

Calcule I1 por u=2-r^2implies du=-2r,dr:
I1 =integralr=0^1rraiz2-r^2,dr =tfrac12integralu=2^1raizu,(-du) =tfrac12integral1^2u^tfrac12du =tfrac12cdottfrac23l(u^3/2r)|1^2 =tfrac13l(2raiz2-1r)
E
I2 =integral0^1r^3,dr =tfrac14
Logo
integral0^1rl(raiz2-r^2-r^2r),dr =I1-I2 =tfrac13(2raiz2-1)-tfrac14 =8raiz2-712

Resposta

V = picdot8raiz2-712 =pi12l(8raiz2-7r)

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