Exercício 2: Sendo S o sólido que está acima do plano
e dentro das superfícies de equação
e
, calcule o volume de S. (Dica: Na tentativa de determinação da interseção entre as superfícies, considere
.)
Passo 1
O enunciado define o sólido
como
- acima do plano
(ou seja, ), - dentro da esfera
- e “dentro” do paraboloide
O que precisamos é de integrar em coordenadas adequadas para achar o volume por
Para isso primeiro vamos achar a curva de interseção entre esfera e paraboloide.
Passo 2
Na interseção vale simultaneamente
Defina
Então a esfera dá
A solução não-negativa é
, e daí
. Logo a curva de corte é
Passo 3
Para parametrizar
use coordenadas cilíndricas em torno do eixo
:
com elemento de volume
.
A condição vira
, ou seja
.
A condição
Passo 4
Em cada
fixos,
varia de cima do paraboloide até a esfera:
E
vai de
até
(pela interseção
). Portanto
Passo 5
O volume é
Separe em duas parcelas:
Passo 6
Calcule
por
:
E
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