O problema pede para encontrar uma função u(r,\theta) harmônica no semicírculo (ou seja, que satisfaz a equação de Laplace) que satisfaz as condições de contorno:
A solução conhecida para modos angulares que anulam em \theta=0 e \theta=\pi é u_n(r,\theta)=r^{n}\operatorname{sen}(n\theta), n=0,1,2,\dots (observação: para n=0 isso é zero).
O domínio é o semicírculo de raio 2: 0\le r\le 2, 0\le\theta\le\pi.
Precisamos construir uma solução harmônica que obedeça às três condições acima simultaneamente.
Passo 2
Estratégia (explicando didaticamente por que usar isso):
Os modos r^{n}\operatorname{sen}(n\theta) são harmônicos e satisfazem u(r,0)=u(r,\pi)=0. Pela linearidade da equação de Laplace, uma combinação linear
Isso é exatamente um problema de expandir a função de contorno em uma série de senos (série de Fourier do tipo seno) no intervalo (0,\pi). Vou mostrar como calcular os coeficientes c_n usando a ortogonalidade dos senos.
Passo 3
Lembrando a fórmula da expansão em séries de senos e a ortogonalidade:
Qualquer função razoável f(\theta)\) em \((0,\pi)\) pode ser escrita como
\[f(\theta)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n \operatorname{sen}(n\theta),
No nosso caso f(\theta)=u(2,\theta)=3\operatorname{sen}(2\theta)-5\cos(8\theta)\]. Se escrevemos \(f(\theta)=\sum A_n\operatorname{sen}(n\theta), então devemos ter c_n 2^{n}=A_n, ou seja
c_n=\frac{A_n}{2^{n}}.]
Passo 4
Cálculo dos coeficientes A_n para f(\theta)=3\operatorname{sen}(2\theta)-5\cos(8\theta).
Escrevemos A_n como soma das contribuições das duas parcelas de f:
Para qualquer inteiro k\ne 0 tem-se \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(k\theta)\,d\theta=0 (porque \operatorname{sen}(k\theta) é função com média zero em um número inteiro de meias-oscilações sobre [0,\pi]); no caso k=n-8 pode ser zero somente se n=8, mas aí \operatorname{sen}(0\cdot\theta)=0 e o integral também é zero. Portanto cada uma das integrandas dá integral zero.
Para \theta=0 ou \theta=\pi temos \operatorname{sen}(2\theta)=0, logo u(r,0)=u(r,\pi)=0 (condição no diâmetro satisfeita).
Para r=2 obtemos u(2,\theta)=\dfrac{3}{4}\,2^{2}\operatorname{sen}(2\theta)=3\operatorname{sen}(2\theta). Observação: a parte -5\cos(8\theta) tem coeficientes nulos na expansão em senos e, portanto, não aparece na série de modos \operatorname{sen}(n\theta); a extensão harmônica que obtemos a partir dos modos que anulam em \theta=0,\pi reproduz a componente 3\operatorname{sen}(2\theta) da contorno.