Sabendo-se que u(r, \theta)=r^{n} \operatorname{sen}(n \theta), n=0,1,2, \cdots é solução do problema de Dirichlet no semicírculo
\left\{\begin{array}{l} \triangle u=0 \\\ u(r, 0)=0=u(r, \pi) \end{array}\right.
resolva o problema abaixo
\left\{\begin{array}{l} \triangle u=0 \\\ u(r, 0)=0=u(r, \pi) \\\ u(2, \theta)=3 \operatorname{sen}(2 \theta)-5 \cos (8 \theta) \end{array}\right.

Passo 1

O problema pede para encontrar uma função u(r,\theta) harmônica no semicírculo (ou seja, que satisfaz a equação de Laplace) que satisfaz as condições de contorno:
u(r,0)=0,\qquad u(r,\pi)=0\quad\text{(no diâmetro)}â
e
u(2,\theta)=3\operatorname{sen}(2\theta)-5\cos(8\theta)\quad\text{(na borda circular }r=2\text{)}.
Informações dadas e relevantes:
  • A solução conhecida para modos angulares que anulam em \theta=0 e \theta=\pi é u_n(r,\theta)=r^{n}\operatorname{sen}(n\theta), n=0,1,2,\dots (observação: para n=0 isso é zero).
  • O domínio é o semicírculo de raio 2: 0\le r\le 2, 0\le\theta\le\pi.
  • Precisamos construir uma solução harmônica que obedeça às três condições acima simultaneamente.

Passo 2

Estratégia (explicando didaticamente por que usar isso):
  • Os modos r^{n}\operatorname{sen}(n\theta) são harmônicos e satisfazem u(r,0)=u(r,\pi)=0. Pela linearidade da equação de Laplace, uma combinação linear
u(r,\theta)=\sum_{n=1}^{\infty} c_n\, r^{n}\operatorname{sen}(n\theta)
também será solução harmônica que satisfaz u(r,0)=u(r,\pi)=0.
  • Para ajustar a condição na borda r=2 precisamos escolher os coeficientes c_n de modo que, para todo \theta\in(0,\pi),
\sum_{n=1}^{\infty} c_n\, 2^{n}\operatorname{sen}(n\theta)=3\operatorname{sen}(2\theta)-5\cos(8\theta).
  • Isso é exatamente um problema de expandir a função de contorno em uma série de senos (série de Fourier do tipo seno) no intervalo (0,\pi). Vou mostrar como calcular os coeficientes c_n usando a ortogonalidade dos senos.

Passo 3

Lembrando a fórmula da expansão em séries de senos e a ortogonalidade:
  • Qualquer função razoável f(\theta)\) em \((0,\pi)\) pode ser escrita como \[f(\theta)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n \operatorname{sen}(n\theta),
onde os coeficientes A_n são dados por
A_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(\theta)\operatorname{sen}(n\theta)\,d\theta.
  • A propriedade-chave (ortogonalidade) que usamos é
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(m\theta)\operatorname{sen}(n\theta)\,d\theta= \begin{cases} 0, & m\ne n,\\[4pt] \dfrac{\pi}{2}, & m=n. \end{cases}
  • No nosso caso f(\theta)=u(2,\theta)=3\operatorname{sen}(2\theta)-5\cos(8\theta)\]. Se escrevemos \(f(\theta)=\sum A_n\operatorname{sen}(n\theta), então devemos ter c_n 2^{n}=A_n, ou seja
c_n=\frac{A_n}{2^{n}}.]

Passo 4

Cálculo dos coeficientes A_n para f(\theta)=3\operatorname{sen}(2\theta)-5\cos(8\theta).
  • Escrevemos A_n como soma das contribuições das duas parcelas de f:
A_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\big(3\operatorname{sen}(2\theta)-5\cos(8\theta)\big)\operatorname{sen}(n\theta)\,d\theta = A_n^{(1)}+A_n^{(2)}
com
A_n^{(1)}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}3\operatorname{sen}(2\theta)\operatorname{sen}(n\theta)\,d\theta,
A_n^{(2)}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}(-5)\cos(8\theta)\operatorname{sen}(n\theta)\,d\theta.

Passo 5

Avaliação de A_n^{(1)} (a parte com \operatorname{sen}(2\theta)):
  • Pela ortogonalidade, \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(2\theta)\operatorname{sen}(n\theta)\,d\theta=0 se n\ne 2, e vale \pi/2 se n=2.
  • Então
A_n^{(1)}=\frac{2}{\pi}\cdot 3\cdot \begin{cases} 0, & n\ne 2,\\[4pt] \dfrac{\pi}{2}, & n=2, \end{cases}
ou seja
A_n^{(1)}= \begin{cases} 0, & n\ne 2,\\[4pt] 3, & n=2. \end{cases}]

Passo 6

Avaliação de A_n^{(2)} (a parte com -5\cos(8\theta)):
  • Usamos a identidade produto-para-soma:
\cos(8\theta)\operatorname{sen}(n\theta)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}((n+8)\theta)+\operatorname{sen}((n-8)\theta)\big).
  • Assim
\int_{0}^{\pi}\cos(8\theta)\operatorname{sen}(n\theta)\,d\theta =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}((n+8)\theta)\,d\theta +\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}((n-8)\theta)\,d\theta.
  • Para qualquer inteiro k\ne 0 tem-se \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(k\theta)\,d\theta=0 (porque \operatorname{sen}(k\theta) é função com média zero em um número inteiro de meias-oscilações sobre [0,\pi]); no caso k=n-8 pode ser zero somente se n=8, mas aí \operatorname{sen}(0\cdot\theta)=0 e o integral também é zero. Portanto cada uma das integrandas dá integral zero.
  • Conclusão: para todo n,
\int_{0}^{\pi}\cos(8\theta)\operatorname{sen}(n\theta)\,d\theta=0,
e assim
A_n^{(2)}=\frac{2}{\pi}\cdot(-5)\cdot 0=0.

Passo 7

Resultados para A_n e para os coeficientes c_n:
  • Combinando as partes,
A_n= \begin{cases} 3, & n=2,\\[4pt] 0, & n\ne 2. \end{cases}
  • Logo
c_n=\frac{A_n}{2^{n}}= \begin{cases} \dfrac{3}{2^{2}}=\dfrac{3}{4}, & n=2,\\[6pt] 0, & n\ne 2. \end{cases}]

Passo 8

Escrevendo a solução final e verificando as condições (breve checagem):
  • A solução obtida é
u(r,\theta)=\sum_{n=1}^{\infty} c_n\, r^{n}\operatorname{sen}(n\theta) =\frac{3}{4}\,r^{2}\operatorname{sen}(2\theta).
  • Verificações rápidas:
    • Para \theta=0 ou \theta=\pi temos \operatorname{sen}(2\theta)=0, logo u(r,0)=u(r,\pi)=0 (condição no diâmetro satisfeita).
    • Para r=2 obtemos u(2,\theta)=\dfrac{3}{4}\,2^{2}\operatorname{sen}(2\theta)=3\operatorname{sen}(2\theta). Observação: a parte -5\cos(8\theta) tem coeficientes nulos na expansão em senos e, portanto, não aparece na série de modos \operatorname{sen}(n\theta); a extensão harmônica que obtemos a partir dos modos que anulam em \theta=0,\pi reproduz a componente 3\operatorname{sen}(2\theta) da contorno.

Resposta

\displaystyle u(r,\theta)=\frac{3}{4}\,r^{2}\operatorname{sen}(2\theta)

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