Encontre, se houver, os pontos críticos das funções abaixo. f(x, y)=\sqrt{(x-5)^{4}+(y+6)^{4}}
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=\sqrt{(x-5)^{4}+(y+6)^{4}}.
O conteúdo usado será cálculo de derivadas parciais em funções de duas variáveis e a definição de ponto crítico (onde o gradiente é nulo ou não existe).
Passo 2
Definindo
g(x,y)=(x-5)^{4}+(y+6)^{4},
temos f(x,y)=\sqrt{g(x,y)}. Para (x,y) tais que g(x,y)\neq0, f é diferenciável e suas derivadas parciais vêm da regra da cadeia:
As equações \partial f/\partial x=0 e \partial f/\partial y=0 levam a
(x-5)^{3}=0 \quad\text{e}\quad (y+6)^{3}=0
ou seja, x=5 e y=-6.
Passo 4
No ponto (5,-6) temos g(5,-6)=0, e a fórmula acima para o gradiente não vale diretamente. Para verificar se ele é ponto crítico, calculamos a derivada parcial em x pela definição: