Encontre, se houver, os pontos críticos das funções abaixo.
f(x, y)=\sqrt{(x-5)^{4}+(y+6)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=\sqrt{(x-5)^{4}+(y+6)^{4}}.
O conteúdo usado será cálculo de derivadas parciais em funções de duas variáveis e a definição de ponto crítico (onde o gradiente é nulo ou não existe).

Passo 2

Definindo
g(x,y)=(x-5)^{4}+(y+6)^{4},
temos f(x,y)=\sqrt{g(x,y)}. Para (x,y) tais que g(x,y)\neq0, f é diferenciável e suas derivadas parciais vêm da regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{2\sqrt{g(x,y)}}\cdot\frac{\partial g}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{2\sqrt{g(x,y)}}\cdot\frac{\partial g}{\partial y}.

Passo 3

Calculando \partial g/\partial x e \partial g/\partial y:
\frac{\partial g}{\partial x}=4\,(x-5)^{3}, \quad \frac{\partial g}{\partial y}=4\,(y+6)^{3}.
Logo, para g(x,y)\neq0,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{4\,(x-5)^{3}}{2\sqrt{g(x,y)}} =2\,\frac{(x-5)^{3}}{\sqrt{(x-5)^{4}+(y+6)^{4}}},
\frac{\partial f}{\partial y} =2\,\frac{(y+6)^{3}}{\sqrt{(x-5)^{4}+(y+6)^{4}}}.
As equações \partial f/\partial x=0 e \partial f/\partial y=0 levam a
(x-5)^{3}=0 \quad\text{e}\quad (y+6)^{3}=0
ou seja, x=5 e y=-6.

Passo 4

No ponto (5,-6) temos g(5,-6)=0, e a fórmula acima para o gradiente não vale diretamente. Para verificar se ele é ponto crítico, calculamos a derivada parcial em x pela definição:
f(5+h,-6)=\sqrt{h^{4}+0}=|h|^{2}=h^{2},
então
\frac{f(5+h,-6)-f(5,-6)}{h}=\frac{h^{2}-0}{h}=h\;\xrightarrow[h\to0]{}0.
Analogamente em y. Logo as derivadas parciais existem em (5,-6) e valem zero, o que faz desse ponto um ponto crítico (gradiente nulo).

Resposta

O único ponto crítico de f é (5,-6).

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