Encontre, se houver, os pontos críticos das funções abaixo.
f(x, y)=2^{x} \cdot 3^{y}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y) = 2^{x}\cdot 3^{y}.
Estamos em cálculo multivariável e, para achar pontos críticos, precisamos resolver
\nabla f(x,y) = \bigl(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\bigr) = (0,0)
ou verificar onde alguma derivada parcial não exista.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x. Como 2^x = e^{x\ln2}, vale
f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2^x 3^y\bigr) = \ln(2)\,2^x\,3^y.

Passo 3

Agora a derivada parcial de f em relação a y. Similarmente, 3^y = e^{y\ln3}, logo
f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2^x 3^y\bigr) = \ln(3)\,2^x\,3^y.

Passo 4

Para ter ponto crítico, precisamos de
f_x(x,y)=0 \quad\text{e}\quad f_y(x,y)=0.
Mas \ln(2)>0, \ln(3)>0, 2^x>0 e 3^y>0 para todo (x,y). Assim,
\ln(2)\,2^x\,3^y>0 \quad\text{e}\quad \ln(3)\,2^x\,3^y>0
sempre, nunca se anulam nem ficam indefinidas.

Resposta

Não existem pontos críticos para f(x,y)=2^x\,3^y.

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