Nas regiões fechadas indicadas, diga quais são os pontos máximo e mínimo da função. Para isso, além de verificar o valor dos pontos críticos na função, será necessário também verificar valores nas bordas da região.
, restrito na região
do domínio.
Passo 1
O enunciado pede o máximo e o mínimo absolutos de
na região fechada
Como
é compacta e
é contínua, os extremos ocorrem em pontos críticos internos ou na borda. Vamos primeiro achar os pontos críticos internos e depois verificar as bordas (arestas e vértices).
Passo 2
Calculamos o gradiente de
e igualamos a zero:
O único ponto crítico é
, que está dentro de
. Avaliamos ali:
Passo 3
Analisamos agora os vértices de
:
Calculando:
Passo 4
Verificamos as arestas restantes:
É uma parábola concava para baixo com vértice em
.
Nos extremos
e
já calculamos (
e
).
máximo em
com
, mínimo em
com
(já visto).
máximo em
com
, mínimo em
com
.
Passo 5
Reunindo todos os valores:
- No interior,
. - Na borda, os menores valores são
.
Os outros pontos dão valores entree .
Resposta
O valor máximo de
em
é
em
.
O valor mínimo de em
é
O valor mínimo de
nos pontos
e
.