Nas regiões fechadas indicadas, diga quais são os pontos máximo e mínimo da função. Para isso, além de verificar o valor dos pontos críticos na função, será necessário também verificar valores nas bordas da região.
f(x, y)=6 x-x^{2}-y^{2}-9, restrito na região R=[0,4] \times[-2,2] do domínio.

Passo 1

O enunciado pede o máximo e o mínimo absolutos de
f(x,y)=6x - x^{2} - y^{2} - 9
na região fechada
R = [0,4]\times[-2,2].
Como R é compacta e f é contínua, os extremos ocorrem em pontos críticos internos ou na borda. Vamos primeiro achar os pontos críticos internos e depois verificar as bordas (arestas e vértices).

Passo 2

Calculamos o gradiente de f e igualamos a zero:
\frac{\partial f}{\partial x} = 6 - 2x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 3,
\frac{\partial f}{\partial y} = -2y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 0.
O único ponto crítico é (3,0), que está dentro de R. Avaliamos ali:
f(3,0) = 6\cdot 3 - 3^{2} - 0^{2} - 9 = 18 -9 -9 = 0.

Passo 3

Analisamos agora os vértices de R:
(0,-2),\;(0,2),\;(4,-2),\;(4,2).
Calculando:
f(0,\pm2) = 0 - 0 - (2)^{2} -9 = -4 -9 = -13,
f(4,\pm2) = 6\cdot4 - 4^{2} - 4 -9 = 24 -16 -4 -9 = -5.

Passo 4

Verificamos as arestas restantes:
1. Aresta y = \pm2, x\in[0,4]:
f(x,\pm2) = 6x - x^{2} - 4 -9 = 6x - x^{2} -13.
É uma parábola concava para baixo com vértice em x=3.
f(3,\pm2) = 18 -9 -13 = -4.
Nos extremos x=0 e x=4 já calculamos ( -13 e -5).
2. Aresta x = 0, y\in[-2,2]:
f(0,y) = -y^{2} -9,
máximo em y=0 com f(0,0)=-9, mínimo em y=\pm2 com -13 (já visto).
3. Aresta x = 4, y\in[-2,2]:
f(4,y) = 6\cdot4 -16 - y^{2} -9 = -1 - y^{2},
máximo em y=0 com -1, mínimo em y=\pm2 com -5.

Passo 5

Reunindo todos os valores:
  • No interior, f(3,0)=0.
  • Na borda, os menores valores são f(0,\pm 2)=-13.
    Os outros pontos dão valores entre -13 e 0.

Resposta

O valor máximo de f em R é
f(3,0)=0,
em (3,0).
O valor mínimo de f em R é
f(0,2)=f(0,-2)=-13,
nos pontos (0,2) e (0,-2).

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