Encontre, se houver, os pontos críticos das funções abaixo.
f(x, y, z)=\sqrt{16-(x-1)^{2}-(y+1)^{2}-z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y,z)=\sqrt{16 - (x-1)^{2} - (y+1)^{2} - z^{2}}.
O conteúdo aqui é cálculo de pontos críticos em funções de várias variáveis: vamos usar o gradiente e igualá-lo a zero, lembrando que só faz sentido onde a função é diferenciável (interior do domínio).

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o domínio de f. Chamando
g(x,y,z)=16 - (x-1)^{2} - (y+1)^{2} - z^{2},
temos que f existe para g(x,y,z)\ge0. A interioridade do domínio ocorre quando g(x,y,z)>0, pois aí f é diferenciável.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de f. Como f = g^{1/2}, pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{2\,\sqrt{g}}\cdot\frac{\partial g}{\partial x} =\frac{1}{2\,\sqrt{g}}\cdot\bigl(-2(x-1)\bigr) =-\frac{x-1}{\sqrt{g}}.
De modo análogo,
\frac{\partial f}{\partial y} =-\frac{y+1}{\sqrt{g}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial z} =-\frac{z}{\sqrt{g}}.

Passo 4

Para pontos críticos no interior, igualamos \nabla f=0:
-\frac{x-1}{\sqrt{g}}=0, \quad -\frac{y+1}{\sqrt{g}}=0, \quad -\frac{z}{\sqrt{g}}=0.
Como \sqrt{g}>0 no interior, isso dá o sistema
x-1=0,\quad y+1=0,\quad z=0,
cuja solução é
(x,y,z)=(1,-1,0).

Passo 5

Verificamos que esse ponto está no interior do domínio:
g(1,-1,0)=16-0-0-0=16>0,
logo f é diferenciável ali.

Passo 6

Nos pontos da fronteira ( g=0) a raiz fica com derivadas não definidas, por isso não consideramos esses pontos como críticos internos.

Resposta

O único ponto crítico de f é (1,-1,0).

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