Encontre, se houver, os pontos críticos das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
O conteúdo aqui é cálculo de pontos críticos em funções de várias variáveis: vamos usar o gradiente e igualá-lo a zero, lembrando que só faz sentido onde a função é diferenciável (interior do domínio).
Passo 2
Primeiro, identifiquemos o domínio de
. Chamando
temos que
existe para
. A interioridade do domínio ocorre quando
, pois aí
é diferenciável.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. Como
, pela regra da cadeia:
De modo análogo,
Passo 4
Para pontos críticos no interior, igualamos
:
Como
no interior, isso dá o sistema
cuja solução é
Passo 5
Verificamos que esse ponto está no interior do domínio:
logo
é diferenciável ali.
Passo 6
Nos pontos da fronteira (
) a raiz fica com derivadas não definidas, por isso não consideramos esses pontos como críticos internos.
Resposta
O único ponto crítico de
é
.