Encontre, se houver, os pontos críticos das funções abaixo.
f(x, y)=e^{4 x y}

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos da função
f(x,y)=e^{4xy},
isto é, os pontos em \mathbb{R}^2 onde o gradiente de f é o vetor nulo. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de f e resolver o sistema \nabla f=(0,0).

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a x. Como f(x,y)=e^{4xy}, aplica-se a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}e^{4xy} =4y\,e^{4xy}.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a y. De modo análogo:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}e^{4xy} =4x\,e^{4xy}.

Passo 4

Formar o sistema \nabla f=(0,0), ou seja,
4y\,e^{4xy}=0, \quad 4x\,e^{4xy}=0.
Como e^{4xy}>0 para todo (x,y), os únicos fatores que podem anular cada equação são y=0 e x=0. Portanto, a solução comum é
x=0 \quad\text{e}\quad y=0.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0).

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