Encontre, se houver, os pontos críticos das funções abaixo.
f(x, y)=y^{2}+\frac{x^{3}}{3}-3 x^{2}+8 x+6

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
f(x, y) = y^{2} + \frac{x^{3}}{3} - 3x^{2} + 8x + 6.
O conteúdo da matéria envolve derivadas parciais e o conceito de ponto crítico, que ocorre quando o gradiente de f é o vetor zero.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f.
A derivada parcial em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x^{3}}{3} - 3x^{2} + 8x\Bigr) = x^{2} - 6x + 8.
A derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{dy}\bigl(y^{2}\bigr) = 2y.

Passo 3

Para ter ponto crítico, devemos resolver o sistema
\begin{cases} x^{2} - 6x + 8 = 0,\\\\ 2y = 0. \end{cases}
A segunda equação dá
y = 0.
A primeira equação fatorializa como
x^{2} - 6x + 8 = (x-2)(x-4)=0,
cuja solução é
x = 2 \quad\text{ou}\quad x = 4.

Passo 4

Combinando os resultados, os pontos críticos são
(2,\,0) \quad\text{e}\quad (4,\,0).

Resposta

(2,0) e (4,0)

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