Encontre, se houver, os pontos críticos das funções abaixo.
f(x, y)=x y+\frac{8}{x}+\frac{27}{y}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=x\,y+\frac{8}{x}+\frac{27}{y}
no domínio \{(x,y)\mid x\neq0,\;y\neq0\}. Para isso vamos usar o fato de que pontos críticos são soluções do sistema
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=0.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais. Diferenciando em relação a x e a y temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(xy\Bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{8}{x}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{27}{y}\Bigr) =y-\frac{8}{x^2},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(xy\Bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{8}{x}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{27}{y}\Bigr) =x-\frac{27}{y^2}.

Passo 3

O sistema \nabla f=0 fica
y-\frac{8}{x^2}=0, \quad x-\frac{27}{y^2}=0.
Da primeira equação resulta
y=\frac{8}{x^2}.

Passo 4

Substituindo y=8/x^2 na segunda equação x=27/y^2 obtemos
x=\frac{27}{\bigl(\tfrac{8}{x^2}\bigr)^2} =\frac{27}{\tfrac{64}{x^4}} =\frac{27\,x^4}{64}.
Como x\neq0, podemos dividir por x e obter
64=27\,x^3 \quad\Longrightarrow\quad x^3=\frac{64}{27} \quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt[\,3]{\frac{64}{27}}=\frac{4}{3}.

Passo 5

Tendo x=4/3, voltamos em y=8/x^2:
y=\frac{8}{\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)^2} =\frac{8}{\tfrac{16}{9}} =8\cdot\frac{9}{16} =\frac{72}{16} =\frac{9}{2}.
Logo há exatamente um ponto crítico no domínio.

Resposta

O único ponto crítico é \bigl(\tfrac{4}{3},\tfrac{9}{2}\bigr).

Exercícios relacionados