Encontre, se houver os pontos de máximo e mínimo locais de f(x, y)= x y e^-(x^2+y^2). Justifique com base na análise das derivadas parciais de primeira e segunda ordem.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo locais da função
f(x,y)=x,y,e^-l(x^2+y^2r)
usando a análise das derivadas parciais de primeira e segunda ordem. O conteúdo é cálculo de várias variáveis: achamos os pontos críticos resolvendo nabla f=0 e classificamos esses pontos pelo sinal do Hessiano.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem. Seja r^2=x^2+y^2. Então
f(x,y)=x,y,e^-r^2
Usando a regra do produto e a cadeia, obtemos
partial fpartial x =y,(1-2x^2),e^-r^2, partial fpartial y =x,(1-2y^2),e^-r^2

Passo 3

Para achar pontos críticos, impomos partial f/partial x=0 e partial f/partial y=0. Como e^-r^2neq0, temos o sistema
y,(1-2x^2)=0, x,(1-2y^2)=0
As soluções são:
1. x=0 e y=0, ou
2. 1-2x^2=0 e 1-2y^2=0, isto é
x=pm1raiz2, y=pm1raiz2
Logo, os pontos críticos são
(0,0), l(pmtfrac1raiz2,pmtfrac1raiz2r)

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem. Ainda com r^2=x^2+y^2, obtemos
fxx = 2 cdot x cdot y cdot (2x^2 - 3) e^-r^2, fyy = 2 cdot x cdot y cdot (2y^2 - 3) e^-r^2, fxy = (1 - 2x^2)(1 - 2y^2) e^-r^2
O Hessiano é
H(x,y) = fxx & fxy [6pt] fxy & fyy ]

Passo 5

Avaliamos o Hessiano em cada ponto crítico:
  • Em (0,0):
    fxx=0, fyy=0, fxy=1,
    então det H(0,0)=0cdot0-1^2=-1<0. Isso indica ponto de sela.
  • Em l(a,br) com a^2=b^2=tfrac12: então r^2=1 e e^-r^2=e^-1. Como
    fxx=fyy=-4,a,b,e^-1, fxy=0,
    as autovalores do Hessiano são lambda1=lambda2=-4ab,e^-1.
    Se ab>0 (ou seja (a,b)=(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2) ou (-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2)), então lambda1,2<0 e o ponto é de máximo local.
    Se ab<0 (ou seja (a,b)=(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2) ou (-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2)), então lambda1,2>0 e o ponto é de mínimo local.

Resposta

Pontos de máximo locais:
l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) e l(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r),
com valor máximo f=tfrac12e^-1
Pontos de mínimo locais:
l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r) e l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r),
com valor mínimo f=-tfrac12e^-1
O ponto (0,0) é ponto de sela.

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