Encontre, se houver os pontos de máximo e mínimo locais de
. Justifique com base na análise das derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo locais da função
usando a análise das derivadas parciais de primeira e segunda ordem. O conteúdo é cálculo de várias variáveis: achamos os pontos críticos resolvendo
e classificamos esses pontos pelo sinal do Hessiano.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem. Seja
. Então
Usando a regra do produto e a cadeia, obtemos
Passo 3
Para achar pontos críticos, impomos
e
. Como
, temos o sistema
As soluções são:
.
e
, ou
.
e
, isto é
Logo, os pontos críticos são
Passo 4
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem. Ainda com
, obtemos
O Hessiano é
Passo 5
Avaliamos o Hessiano em cada ponto crítico:
-
Em
: então. Isso indica ponto de sela. -
Em
com : então e . Como as autovalores do Hessiano são.
Se(ou seja ou ), então e o ponto é de máximo local.
Se(ou seja ou ), então e o ponto é de mínimo local.
Resposta
Pontos de máximo locais:
com valor máximo
Pontos de mínimo locais:
com valor mínimo
O ponto
é ponto de sela.