Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
y=x+1, y=0, x=0, x=2 ; em torno do eixo x

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por ,y=x+1, ,y=0, ,x=0 e ,x=2 em torno do eixo x. Esse problema envolve o método dos discos, cuja fórmula é
V=pi integrala^b[R(x)]^2,dx
onde R(x) é a distância vertical da curva até o eixo de rotação.

Passo 2

Para cada xin[0,2], a região vai de y=0 (eixo) até y=x+1. Ao girar em torno do eixo x, obtemos discos de raio externo
R(x)=x+1
e raio interno r(x)=0. Portanto
V=piintegral0^2l[(x+1)^2-0^2r],dx =piintegral0^2(x+1)^2,dx

Passo 3

Expandindo o integrando e calculando a primitiva:
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1,
integral0^2(x^2 + 2x + 1),dx = l[tfracx^33+x^2+xr]0^2 = 83 + 4 + 2 = 263
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V = pi cdot 263 = 26pi3

Resposta

V = 26pi3

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