Nos itens que seguem, resolva a equação diferencial e, se for dada uma condição inicial, encontre também a solução que a satisfaz.
y^prime=e^x+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é y' = e^x+y . O conteúdo que a gente vai usar aqui é de Equações Diferenciais de primeira ordem, especificamente os métodos para resolver equações separáveis. Vamos precisar separar as variáveis para conseguir integrar e achar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro que ela é separável. A equação dada é:
dydx = e^x+y
Podemos separar os termos que envolvem y e x multiplicando ou dividindo ambos os lados. Nesse caso, vamos dividir ambos os lados por e^y para isolar dy de um lado e dx do outro:
dye^y = e^x dx

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados dessa igualdade. A ideia aqui é que, ao separar as variáveis, a gente consegue integrar cada lado com relação à sua própria variável.
Integrando o lado esquerdo em relação a y :
integral 1e^y dy = integral e^x dx
Sabemos que 1e^y = e^-y , então a integral fica:
integral e^-y dy = integral e^x dx

Passo 4

Vamos resolver as integrais agora. A integral de e^-y em relação a y é:
integral e^-y dy = -e^-y + C1
E a integral de e^x em relação a x é:
integral e^x dx = e^x + C2
Como estamos resolvendo uma equação diferencial, podemos combinar as constantes C1 e C2 em uma única constante C . Então temos:
-e^-y = e^x + C

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para y . Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
e^-y = -e^x - C
Podemos reescrever isso como:
e^-y = C - e^x
Agora, para isolar y , vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados. Mas antes, vamos lembrar que e^-y = 1e^y , então:
1e^y = C - e^x
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
-y = ln(C - e^x)
Multiplicando ambos os lados por -1:
y = -ln(C - e^x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = -ln(C - e^x)
onde C é uma constante arbitrária.

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