Nos itens que seguem, resolva a equação diferencial e, se for dada uma condição inicial, encontre também a solução que a satisfaz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. O conteúdo que a gente vai usar aqui é de Equações Diferenciais de primeira ordem, especificamente os métodos para resolver equações separáveis. Vamos precisar separar as variáveis para conseguir integrar e achar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro que ela é separável. A equação dada é:
Podemos separar os termos que envolvem
e
multiplicando ou dividindo ambos os lados. Nesse caso, vamos dividir ambos os lados por
para isolar
de um lado e
do outro:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados dessa igualdade. A ideia aqui é que, ao separar as variáveis, a gente consegue integrar cada lado com relação à sua própria variável.
Integrando o lado esquerdo em relação a
:
Sabemos que
, então a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver as integrais agora. A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Como estamos resolvendo uma equação diferencial, podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
. Então temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para
. Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
Podemos reescrever isso como:
Agora, para isolar
, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados. Mas antes, vamos lembrar que
, então:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.