Encontre o ponto (x^*, y^*) que minimiza a função f(x, y)=x^2+y^2 definida no conjunto Omega=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 16 e x+y >= 1.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar o ponto que minimiza a função f(x,y)=x^2+y^2 sujeito às restrições x^2+y^2<=16 (um disco de raio 4) e x+y>=1 (metade-plano). O conteúdo principal é otimização com restrições e geometria: minimizar distância ao origem dentro da região dada.

Passo 2

Sem nenhuma restrição, o mínimo de f ocorre no ponto (0,0), pois é o ponto mais próximo da origem. Mas como 0+0<1, esse ponto não satisfaz x+y>=1, então precisamos usar a fronteira dessa desigualdade.

Passo 3

Como a fronteira da segunda restrição é a reta x+y=1, o mínimo aparece no ponto dessa reta que está mais próximo da origem. Geometricamente, é a projeção ortogonal do (0,0) sobre a reta.

Passo 4

Para projetar (0,0) na reta x+y=1, note que o vetor normal da reta é (1,1). A projeção é dada por
(x^*,y^*)=(0,0)-0+0-11^2+1^2(1,1)=12(1,1)=(tfrac12,tfrac12)

Passo 5

Finalmente, checamos que (tfrac12)^2+(tfrac12)^2=tfrac12<16, logo está dentro do disco, e tfrac12+tfrac12=1 satisfaz a reta. Portanto esse é o ponto ótimo.

Resposta

(x^*,y^*)=(tfrac12,tfrac12)

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