Encontre o ponto
que minimiza a função
definida no conjunto
e
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar o ponto que minimiza a função
sujeito às restrições
(um disco de raio 4) e
(metade-plano). O conteúdo principal é otimização com restrições e geometria: minimizar distância ao origem dentro da região dada.
Passo 2
Sem nenhuma restrição, o mínimo de
ocorre no ponto
, pois é o ponto mais próximo da origem. Mas como
, esse ponto não satisfaz
, então precisamos usar a fronteira dessa desigualdade.
Passo 3
Como a fronteira da segunda restrição é a reta
, o mínimo aparece no ponto dessa reta que está mais próximo da origem. Geometricamente, é a projeção ortogonal do
sobre a reta.
Passo 4
Para projetar
na reta
, note que o vetor normal da reta é
. A projeção é dada por
Passo 5
Finalmente, checamos que
, logo está dentro do disco, e
satisfaz a reta. Portanto esse é o ponto ótimo.