Encontre, se houver, os valores máximo e mínimo da função f: R R dada, para x in R, por f(x)=xa x^2+b, onde a e b são reais positivos dados.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=xa x^2+b,
com a>0 e b>0, definida em todo R.
Queremos encontrar os pontos críticos usando derivada e depois determinar quais são máximos e mínimos.

Passo 2

Calculamos a derivada de f pelo quociente. Seja N(x)=x e D(x)=a x^2+b. Então
f'(x) =D(x),N'(x)-N(x),D'(x)[D(x)]^2 =(a x^2+b)cdot1 - xcdot(2a x)(a x^2+b)^2 =-a x^2+b(a x^2+b)^2

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos f'(x)=0, ou seja,
-a x^2+b=0 Longrightarrow x^2=ba Longrightarrow x=pmraizba

Passo 4

Estudamos o sinal de f':
  • Se |x|<raizb/a, então -a x^2+b>0 Rightarrow f'>0 (função crescente).
  • Se |x|>raizb/a, então -a x^2+b<0 Rightarrow f'<0 (função decrescente).
    Logo, em x=-raizb/a a derivada vai de negativa para positiva (mínimo local) e em x=+raizb/a vai de positiva para negativa (máximo local).

Passo 5

Agora calculamos os valores de f nesses pontos:
fl(pmraiztfracbar) =pmraiztfracba al(tfracbar)+b =pmraiztfracbab+b =pm12raizab

Resposta

Máximo global:
max f = 12raizab em x = +raizba
Mínimo global:
min f = -12raizab em x = -raizba

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