Encontre a imagem das seguintes funções:
f(x, y, z)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}-z^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a imagem (ou range) da função
f(x,y,z)=\sqrt{4 - x^{2} - y^{2} - z^{2}}.
Estamos em cálculo de várias variáveis, no tópico de domínio e imagem de funções reais. Para encontrar a imagem, primeiro identificamos onde a função está bem definida (domínio) e depois vemos quais valores ela assume nesse domínio.

Passo 2

A raiz quadrada exige que o radicando seja não-negativo, ou seja
4 - x^{2} - y^{2} - z^{2} \;\ge\; 0
portanto o domínio é o bola sólida de raio 2:
D = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4\}.

Passo 3

Dentro desse domínio, defina
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
que varia em
0 \;\le\; r \;\le\; 2.
Então
f(x,y,z) \;=\;\sqrt{4 - r^{2}}.
Assim reduzimos o problema a estudar a função de uma variável
g(r)=\sqrt{4-r^{2}},\quad r\in[0,2].

Passo 4

A função g(r) é contínua em [0,2] e, como a raiz quadrada decresce quando o radicando diminui, encontramos:
  • Máximo em r=0:
g(0)=\sqrt{4-0^2}=2.
  • Mínimo em r=2:
g(2)=\sqrt{4-2^2}=0.
Logo g(r) atinge todos os valores entre 0 e 2.

Resposta

A imagem de f é o intervalo
[0,2].

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