Encontre a imagem das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede a imagem (ou range) da função
Estamos em cálculo de várias variáveis, no tópico de domínio e imagem de funções reais. Para encontrar a imagem, primeiro identificamos onde a função está bem definida (domínio) e depois vemos quais valores ela assume nesse domínio.
Passo 2
A raiz quadrada exige que o radicando seja não-negativo, ou seja
portanto o domínio é o bola sólida de raio
:
Passo 3
Dentro desse domínio, defina
que varia em
Então
Assim reduzimos o problema a estudar a função de uma variável
Passo 4
A função
é contínua em
e, como a raiz quadrada decresce quando o radicando diminui, encontramos:
- Máximo em
:
- Mínimo em
:
Logo
atinge todos os valores entre
e
.
Resposta
A imagem de
é o intervalo