Encontre c in[a, b] tal que (b-a) f(c)=integrala^b f(x) d x, para: f(x)=raiz6-x,[a, b]=[-3,2]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um ponto c em [a,b]=[-3,2] tal que (b-a)f(c)=integrala^b f(x),dx. Aqui f(x)= raiz6-x. Vamos usar o teorema do valor médio para integrais, que diz que existe c em [a,b] satisfazendo essa igualdade. Para isso, precisamos calcular a integral e depois resolver para c.

Passo 2

Calcular a integral I=integral-3^2raiz6-x,dx. Fazendo a substituição u=6-x, temos du=-dx. Quando x=-3, u=9; e quando x=2, u=4. Então:
I=integral-3^2raiz6-x,dx = integralu=9^u=4raizu(-du)=integral4^9u^1/2,du
Agora integramos
integral u^1/2,du = 23u^3/2,
avaliando de 4 a 9:
I=23l(9^3/2-4^3/2r)=23(27-8)=383

Passo 3

O valor médio de f é dado por f(c)=1b-aI. Aqui b-a=2-(-3)=5, então
f(c)=15cdot383=3815

Passo 4

Para achar c, resolvemos raiz6-c=3815. Elevando ao quadrado:
6-c=l(3815r)^2=1444225,
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c=6-1444225=1350-1444225=-94225

Resposta

c=-94225

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