Encontre a inclinação da reta tangente à curva polar para o valor dado de theta.
r=a sec 2 theta: theta=pi / 6

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da reta tangente à curva dada em coordenadas polares
r = a sec(2theta)
no ponto onde theta = pi/6.
O conteúdo é cálculo de derivada em coordenadas polares, em particular usamos a fórmula
dydx =drdtheta,sintheta + r,costheta drdtheta,costheta - r,sintheta

Passo 2

Calculamos primeiro drdtheta usando a regra da cadeia:
drdtheta = a;ddthetal[sec(2theta)r] = a;sec(2theta),tan(2theta)cdot 2 = 2a,sec(2theta),tan(2theta)

Passo 3

Agora avaliamos em theta=pi/6. Como 2theta=pi/3, temos
secl(pi/3r)=2, tanl(pi/3r)=raiz3,
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drdtheta|theta=pi/6 =2acdot 2cdotraiz3 =4raiz3,a, rl(pi/6r) =asecl(pi/3r) =2a

Passo 4

Substituímos na fórmula da inclinação:
dydx =(4raiz3,a)sin(pi/6)+(2a)cos(pi/6) (4raiz3,a)cos(pi/6)-(2a)sin(pi/6)
Como sin(pi/6)=tfrac12 e cos(pi/6)=tfracraiz32,
o numerador fica
4raiz3acdottfrac12 ;+;2acdottfracraiz32 =2raiz3a + raiz3a =3raiz3,a,
e o denominador
4raiz3acdottfracraiz32;-;2acdottfrac12 =4raiz3acdottfracraiz32-a =4cdottfrac32a - a =6a - a =5a

Passo 5

Portanto a inclinação é
dydx =3raiz3,a5a =3raiz35

Resposta

A inclinação da reta tangente em theta=pi/6 é 3raiz35.

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