Sabendo que a reta 2 x+3 y=5 é tangente ao gráfico de y=f(x) em x=1, determine o valor de f(1) e f^{\prime}(1).
Os exercícios a seguir devem ser resolvidos utilizandose a definição de derivada em um ponto pelos seguintes limites
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}

Passo 1

O enunciado diz que a reta
2x + 3y = 5
é tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto onde x = 1.
Isso significa duas coisas:
  1. O ponto \bigl(1,\,f(1)\bigr) pertence a essa reta.
  2. A inclinação (coeficiente angular) dessa reta é igual a f'(1), pois a derivada num ponto é exatamente o coeficiente angular da reta tangente ali.

Passo 2

Para achar f(1), basta usar o fato de que \bigl(1,\,f(1)\bigr) satisfaz
2\cdot 1 + 3\,f(1) = 5.
Logo,
2 + 3\,f(1) = 5 \quad\Longrightarrow\quad 3\,f(1) = 3 \quad\Longrightarrow\quad f(1) = 1.

Passo 3

Para encontrar f'(1), escrevemos a reta em forma explícita y = mx + b. Da equação
2x + 3y = 5
temos
3y = -2x + 5 \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{2}{3}\,x + \tfrac{5}{3}.
O coeficiente angular é m = -\tfrac{2}{3}. Pelo conceito de derivada como inclinação da reta tangente, concluímos
f'(1) = -\tfrac{2}{3}.

Resposta

f(1) = 1 f'(1) = -\tfrac{2}{3}

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