Encontre as inclinações e as equações das retas tangentes nas direções de xe y, nos pontos dados.
f(x, y)=(x y-1)^{2} at (2,2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as inclinações (derivadas direcionais nas direções de x e y) e as equações das retas tangentes ao gráfico de
f(x,y) = (x y - 1)^{2}
no ponto (2,2). Vamos usar as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} para obter as inclinações e, a partir delas, escrever as equações das retas tangentes nos planos y=2 e x=2.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Como
f(x,y) = (x y - 1)^{2},
usamos a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2\,(x y - 1)\,\frac{\partial (x y - 1)}{\partial x} = 2\,(x y - 1)\,y,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 2\,(x y - 1)\,\frac{\partial (x y - 1)}{\partial y} = 2\,(x y - 1)\,x.

Passo 3

Avaliamo-las em (2,2). Note que x y - 1 = 2\cdot2 - 1 = 3. Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}(2,2) = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(2,2) = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12.
As inclinações nas direções de x e de y são, ambas, 12.

Passo 4

A reta tangente na direção de x é obtida fixando y=2. Como f(2,2)=3^{2}=9 e a inclinação é \frac{\partial f}{\partial x}(2,2)=12, temos:
\text{reta em direção de }x: \quad z - 9 = 12\,(x - 2), \quad y = 2.çã
A reta tangente na direção de y é obtida fixando x=2. Com inclinação \frac{\partial f}{\partial y}(2,2)=12, obtemos:
\text{reta em direção de }y: \quad z - 9 = 12\,(y - 2), \quad x = 2.çã

Resposta

Inclinações:
\frac{\partial f}{\partial x}(2,2)=12
\frac{\partial f}{\partial y}(2,2)=12
Equações das retas tangentes:
z - 9 = 12\,(x - 2),\;y=2
z - 9 = 12\,(y - 2),\;x=2

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