Encontre o valor de \partial z / \partial x no ponto (1,1,1) se a equação
x y+z^{3} x-2 y z=0
define z como uma função de duas variáveis independentes x e y e se a derivada parcial existe.

Passo 1

O enunciado dá a equação
F(x,y,z)=x\,y + x\,z^3 - 2\,y\,z = 0
que define implicitamente z como função de (x,y). Para encontrar \partial z/\partial x vamos usar o Teorema da Função Implícita, que diz que, se \partial F/\partial z \neq 0, então
\frac{\partial z}{\partial x} \;=\; -\frac{F_x}{F_z}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F em relação a x e a z:
F_x = \frac{\partial}{\partial x}(x\,y + x\,z^3 - 2yz) = y + z^3,
F_z = \frac{\partial}{\partial z}(x\,y + x\,z^3 - 2yz) = 3x\,z^2 \;-\; 2y.

Passo 3

Pela fórmula da função implícita,
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}.

Passo 4

Agora avaliamos em (x,y,z)=(1,1,1):
F_x(1,1,1) = 1 + 1^3 = 2,
F_z(1,1,1) = 3\cdot1\cdot1^2 - 2\cdot1 = 3 - 2 = 1,
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\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(1,1,1)} = -\frac{2}{1} = -2.

Resposta

-2

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