Verificar se o campo dado F é irrotacional ou seja rot(F)=0.
F(x, y, z)=(e^x sen y+e^z cos x, e^x cos y+e^y sen z, e^y cos z+e^z sen x)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y,z) = l(e^xsin y + e^zcos x,;e^xcos y + e^ysin z,;e^ycos z + e^zsin xr)
e pede para verificar se ele é irrotacional, ou seja, se
nabla times F = 0
Vamos usar a definição do rotacional em coordenadas cartesianas:
nabla times F = partial Rpartial y - partial Qpartial z [6pt] partial Ppartial z - partial Rpartial x [6pt] partial Qpartial x - partial Ppartial y ,
once F=(P,Q,R).]

Passo 2

Identificamos as componentes
P(x,y,z) = e^xsin y + e^zcos x, Q(x,y,z) = e^xcos y + e^ysin z, R(x,y,z) = e^ycos z + e^zsin x

Passo 3

Calculamos a primeira componente do rotacional:
partial Rpartial y = partialpartial yl(e^ycos z + e^zsin xr) = e^ycos z,
partial Qpartial z = partialpartial zl(e^xcos y + e^ysin zr) = e^ycos z
Logo,
partial Rpartial y - partial Qpartial z = e^ycos z - e^ycos z = 0

Passo 4

Calculamos a segunda componente do rotacional:
partial Ppartial z = partialpartial zl(e^xsin y + e^zcos xr) = e^zcos x,
partial Rpartial x = partialpartial xl(e^ycos z + e^zsin xr) = e^zcos x
Logo,
partial Ppartial z - partial Rpartial x = e^zcos x - e^zcos x = 0

Passo 5

Calculamos a terceira componente do rotacional:
partial Qpartial x = partialpartial xl(e^xcos y + e^ysin zr) = e^xcos y,
partial Ppartial y = partialpartial yl(e^xsin y + e^zcos xr) = e^xcos y
Logo,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = e^xcos y - e^xcos y = 0

Passo 6

Como cada componente do rotacional é zero, concluímos que
nabla times F = (0,0,0), ou seja, F é irrotacional.

Resposta

O campo F é irrotacional, pois nabla times F = 0.

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