Verificar se o campo dado é irrotacional ou seja .
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para verificar se ele é irrotacional, ou seja, se
Vamos usar a definição do rotacional em coordenadas cartesianas:
once F=(P,Q,R).]
Passo 2
Identificamos as componentes
P(x,y,z) = e^xsin y + e^zcos x, Q(x,y,z) = e^xcos y + e^ysin z, R(x,y,z) = e^ycos z + e^zsin x
Passo 3
Calculamos a primeira componente do rotacional:
partial Rpartial y = partialpartial yl(e^ycos z + e^zsin xr) = e^ycos z,
partial Qpartial z = partialpartial zl(e^xcos y + e^ysin zr) = e^ycos z
Logo,
partial Rpartial y - partial Qpartial z = e^ycos z - e^ycos z = 0
Passo 4
Calculamos a segunda componente do rotacional:
partial Ppartial z = partialpartial zl(e^xsin y + e^zcos xr) = e^zcos x,
partial Rpartial x = partialpartial xl(e^ycos z + e^zsin xr) = e^zcos x
Logo,
partial Ppartial z - partial Rpartial x = e^zcos x - e^zcos x = 0
Passo 5
Calculamos a terceira componente do rotacional:
partial Qpartial x = partialpartial xl(e^xcos y + e^ysin zr) = e^xcos y,
partial Ppartial y = partialpartial yl(e^xsin y + e^zcos xr) = e^xcos y
Logo,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = e^xcos y - e^xcos y = 0
Passo 6
Como cada componente do rotacional é zero, concluímos que nabla times F = (0,0,0), ou seja, F é irrotacional.