Suponha que rho(x, y) representa a densidade linear num ponto (x, y) de um arame fino com o formato de uma curva C. O valor da massa m do arame é dado por
m=integralC rho(x, y) d s
O centro de massa do arame com função densidade rho está localizado no ponto ( barx, bary ), onde
barx=1m integralC x rho(x, y) d s bary=1m integralC y rho(x, y) d s
Determine o centro de massa de um arame com formato da hélice x=2 sen t, y=2 cos t, z=3 t, 0 <= t <= 2 pi, se a densidade for uma constante k

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de um arame fino no formato da hélice
x=2sin t, y=2cos t, z=3t, 0<= t<=2pi
com densidade linear constante k.
Conteúdo: cálculo de centro de massa paramétrico em 3D. Vamos precisar de
  1. Expressar o elemento de arco ds em função de t.
  2. Calcular a massa m=integralC rho,ds e as coordenadas
    bar x=tfrac1mintegralC x,rho,ds,
    bar y=tfrac1mintegralC y,rho,ds,
    bar z=tfrac1mintegralC z,rho,ds.

Passo 2

Primeiro achamos ds. Como
dxdt=2cos t, dydt=-2sin t, dzdt=3,
temos
ds=raizl(2cos tr)^2+l(-2sin tr)^2+3^2;dt =raiz4cos^2t+4sin^2t+9;dt =raiz13;dt

Passo 3

A massa do arame é
m=integralCk,ds =kintegral0^2piraiz13;dt =2pi kraiz13

Passo 4

Agora bar x e bar y. Usando ds=raiz13,dt:
bar x =1mintegral0^2pi(2sin t),k,raiz13;dt =kraiz132pi kraiz13;2integral0^2pisin t,dt =0,
porque integral0^2pisin t,dt=0. De modo análogo
bar y =1mintegral0^2pi(2cos t),k,raiz13;dt proptointegral0^2picos t,dt =0

Passo 5

Por fim bar z:
bar z =1mintegral0^2pi(3t),k,raiz13;dt =kraiz132pi kraiz13;3integral0^2pit,dt =32picdot(2pi)^22 =3pi

Resposta

O centro de massa é
(bar x,bar y,bar z)=(0,0,3pi)

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