Encontre o ínfimo e supremo dos seguintes conjuntos:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o ínfimo e o supremo do conjunto
Aqui o conteúdo é a definição de limite superior (supremo) e limite inferior (ínfimo).
Definições importantes:
– Dizemos que é uma cota superior de
se
.
– O supremo de , escrito
, é a menor dessas cotas superiores.
– Dizemos que é uma cota inferior de
se
.
– O ínfimo de , escrito
, é a maior dessas cotas inferiores.
Definições importantes:
– Dizemos que
– O supremo de
– Dizemos que
– O ínfimo de
Passo 2
Mostramos que
.
- Prova de que
é cota superior: por definição de , todo satisfaz , logo . - Prova de que não existe cota superior estritamente menor que
: seja . Defina
Então
, pois
Além disso,
já que
Logo
e
, o que mostra que
não pode ser cota superior.
Portanto é a menor cota superior, isto é,
.
Portanto
Passo 3
De modo análogo, mostramos que
.
- Prova de que
é cota inferior: para todo , , logo . - Prova de que não existe cota inferior estritamente maior que
: seja . Defina
Então
, o que implica
(pois
segue de
ou, se
, basta notar que
). Assim
, mostrando que
não é cota inferior.
Logo é a maior cota inferior, ou seja,
.
Logo