Encontre o ínfimo e supremo dos seguintes conjuntos:
x in R: a<x<b

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ínfimo e o supremo do conjunto
A = x in R: a < x < b
Aqui o conteúdo é a definição de limite superior (supremo) e limite inferior (ínfimo).
Definições importantes:
– Dizemos que M é uma cota superior de A se forall xin A,;x<= M.
– O supremo de A, escrito sup A, é a menor dessas cotas superiores.
– Dizemos que m é uma cota inferior de A se forall xin A,;m<= x.
– O ínfimo de A, escrito inf A, é a maior dessas cotas inferiores.

Passo 2

Mostramos que sup A = b.
  1. Prova de que b é cota superior: por definição de A, todo xin A satisfaz x<b, logo x<= b.
  2. Prova de que não existe cota superior estritamente menor que b: seja c<b. Defina
x = b + c2
Então c < x < b, pois
x - c = b-c2 > 0 e b - x = b-c2 > 0
Além disso, x>a já que
x = b+c2 > b+a2 > a
Logo xin A e x>c, o que mostra que c não pode ser cota superior.
Portanto b é a menor cota superior, isto é, sup A = b.

Passo 3

De modo análogo, mostramos que inf A = a.
  1. Prova de que a é cota inferior: para todo xin A, a<x, logo a<= x.
  2. Prova de que não existe cota inferior estritamente maior que a: seja d>a. Defina
y = a + d2
Então a < y < d, o que implica yin A (pois y<b segue de d<b ou, se d>= b, basta notar que a+d2<a+b2<b). Assim y<d, mostrando que d não é cota inferior.
Logo a é a maior cota inferior, ou seja, inf A = a.

Resposta

infxinR:a<x<b=a
supxinR:a<x<b=b

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